Turma L2, 2025-1 - Terças e quintas, 20-22h
Sala 302, bloco G, Gragoatá (a partir de abril)
Email da turma: combinatoria_2025-1@id.uff.br (com a participação da professora)
Profa Renata de Freitas (renatafreitas@id.uff.br)
Atendimento: gabinete 45, 4o andar, ala C, bloco G, Gragoatá (com agendamento por email)
V1 - 13 de maio (terça)
V2 (antecipada) - 17 de junho (terça)
V2 - 01 de julho (terça)
2a Chamada - 10 de julho (quinta)
VS - 17 de julho (quinta)
Em junho:
*** toda semana ***
terça-feira, no final da aula
22 de abril (terça) -
Recesso de Tiradentes / São Jorge
01 de maio (quinta) -
Dia da Classe Trabalhadora
19 de junho (quinta) -
Corpus Christi
24 de junho (terça) -
São João
Lembre que "fazer" exercícios é igual a "tentar fazer" exercícios, discutir com outras pessoas, e formular perguntas; e não é "ver a resolução" do exercício (no quadro, no caderno de outra pessoa, no gabarito, etc).
25/3/2025 - Estruturas e configurações
- Ler o Capítulo 2 e a Seção 3.1 do Capítulo 3 do livro
Combinatória de Contagem.
27/3/2025 - O Método dos Princípios de Contagem
- Ler o Capítulo 3 do livro
Combinatória de Contagem.
- Considere os Problemas de Contagem listados a seguir, mas não resolva os problemas. Ao invés disso,
identifique as configurações a serem contadas e os objetos básicos a partir das quais as configurações são formadas,
escolha uma notação adequada para representar as configurações,
descreva como podemos obter (de maneira única, todas e apenas)
configurações a partir dos objetos básicos através de uma sequência de escolhas (decisões).
Repito: não resolva os problemas.
(a) Quantas palavras contendo 3 letras diferentes podem ser formadas com um alfabeto de 26 letras?
(b) Quantos são os gabaritos possíveis de um teste de 10 questões de múltipla-escolha, com 5 alternativas por questão?
(c) Quantos inteiros há entre 1000 e 9999 cujos algarismos são distintos?
(d) De quantos modos diferentes podem ser escolhidos um presidente e um secretário de um conselho que tem 12 membros?
(e) De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em 5 cadeiras em fila?
(Morgado et.al. pp. 22 ss)
1/4/2025 - Princípio da Multiplicação
- Estudar o Capítulo 6 do livro
Combinatória de Contagem
e fazer os exercícios 1, 2, e 3 da Seção 6.4 do Capítulo 6 (página 54 e seguintes).
*
Opcional: quem está acompanhando as aulas pelo Morgado, pode fazer os exercícios 1 a 5
[pdf]
da Seção 2.1, o Exercício 1
[pdf]
e os exercícios 4,5,8,10,11,12,13
[pdf],
da Seção 2.2.
3/4/2025 - Princípio da Adição
- Resolver os exercícios da lista
Quadradinhos da Vovó.
8/4/2025 - Princípio da Adição
- As peças do jogo Triminó são triângulos, com as pontas numeradas de 0 a 5 (como na figura).
Quantas são as peças do Triminó?
(Cuidado: note que as duas peças em destaque na figura não são iguais.)
10/4/2025 - Princípio k para 1
- Estudar o Capítulo 8 do livro
Combinatória de Contagem,
fazer os exercícios do Capítulo 8.
- Resolver os exercícios 1 a 5 da lista
Campeonato Carioca Feminino 2024.
- Resolver os exercícios da lista
Fantasma Blitz.
*
Opcional: quem está acompanhando as aulas pelo Morgado,
pode fazer o exercício 11
[pdf]
da Seção 2.1
e os exercícios 10,11,12,13
[pdf],
da Seção 2.2.
24/4/2025 - Arranjo, Permutação, Combinação
- Estudar o Capítulo 7 do livro
Combinatória de Contagem,
fazer os exercícios do Capítulo 7.
- Estudar a Seção 9.3 (Capítulo 9) do livro
Combinatória de Contagem,
fazer os exercícios da Seção 9.4.
- Dentre as configurações que você contou, na resolução da questão do Teste 2,
identifique os arranjos, as permutações, e as combinações.
[Teste 2].
* Desafio: quantas são as trincas de ases de um baralho de Buraco formado por 2 baralhos comuns iguais
(com a mesma cor do verso das cartas:
ambos com o verso das cartas na cor verde, ou ambos com verso azul)?
[Teste 2].
29/4/2025 - Permutações circulares
- Comece a estudar a Seção 9.1 (Capítulo 9) do livro
Combinatória de Contagem.
- Veja também os exemplos da Sala de Estudos
Permutações Circulares - Clubes de Matemática da OBMEP.
21/5/2025 - Mais exercícios
- Resolva os exercícios de Contagem do livro: Paulo Carvalho,
Métodos de Contagem e Probabilidade, páginas 11 a 15, e 36 a 38
[pdf].
29/5/2025 - Permutações com repetição
- Quantos são os anagramas da palavra MATEMÁTICA?
- Quantos são os anagramas da palavra ESSES?
- Durante a festa de comemoração dos 10 anos de Leila,
o palhaço que animava a festa jogou para o alto 8 bombons e somente 3 crianças correram para pegá-los.
De quantas maneiras diferentes esses 8 bombons podem ser assim distribuídos,
sabendo que todos os 8 bombons foram encontrados?
- Veja também os exemplos da Sala de Estudos
Permutações Circulares - Clubes de Matemática da OBMEP.
3/6/2025 - Princípio da Inclusão-Exclusão
- Estude o Capítulo 10 do livro
Combinatória de Contagem.
- Quantos são os anagramas da palavra BRASIL em que a letra B ocorre na primeira posição,
ou a letra R ocorre na segunda posição, ou a letra L ocorre na sexta posição?
- Quantos são os anagramas da palavra CONTAGEM em que as vogais não ocupam suas posições originais
(a letra O não está na segunda posição, a letra A não está na quinta posição, nem a letra E está na sétima posição)?
5/6/2025 - Permutações Caóticas
- Considere a definição a seguir:
Seja n um número natural não nulo.
O número de permutações caóticas de uma sequência de n objetos é:
D(n) = C(n,0)n! - C(n,1)(n-1)! + C(n,2)(n-2)! - C(n,3)(n-3)! + ... + (-1)^n C(n,n)0!
Prove que, para todo número natural não nulo n, temos que:
(a) D(n) = n!(1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)^n 1/n!).
(b) D(1)=0, D(2)=1, e D(n)=(n-1)(D(n-2)+D(n-1)) quando n>2.
- Tente fazer também os problemas da Sala de Estudos
Permutações Caóticas - Clubes de Matemática da OBMEP.
10/6/2025 - Relações de recorrência e provas por indução
(1) A sequência de números triangulares é definida pela relação de recorrência a seguir:
T(1) = 1, e T(n) = T(n-1)+n quando n>1.
(a) Mostre que, para todo número natural não nulo n, temos que T(n) = n(n+1)/2.
(b) Mostre também que, para todo número natural não nulo n, temos que 1+2+3+...+n = n(n+1)/2.
(2) A sequência de números quadrados é apresentada a seguir:
(a) Encontre uma relação de recorrência para a sequência de números quadrados Q(n).
(b) Mostre que, para todo número natural não nulo n, temos que Q(n) = n^2.
(c) Mostre também que, para todo número natural não nulo n, T(n)+T(n+1)=Q(n)
(a soma de números triangulares consecutivos é um número quadrado).
(3) Considere a sequência I(n) de números ímpares.
(a) Encontre uma relação de recorrência para a sequência de números ímpares I(n).
(b) Mostre que, para todo número natural não nulo n, temos que I(n) = 2n-1.
(c) Encontre uma relação de recorrência para a sequência de somas dos n primeiros números ímpares SI(n).
(Por exemplo, SI(4)=1+3+5+7 é a soma dos 4 primeiros números ímpares.)
12/6/2025 - Princípio das Casas de Pombo
Assista ao vídeo O Princípio do Pombal:
[youtube]
(série Isto é Matemática, da Sociedade Portuguesa de Matemática - episódio 8, temporada 6)
e faça os exercícios:
(1) Mostre que, se uma turma tem 15 pessoas inscritas, pelo menos duas delas fazem aniversário no mesmo mês.
(2) Qual o número mínimo de pessoas que devemos reunir para que tenhamos certeza de que duas entre elas fazem aniversário no mesmo mês?
(3) Uma caixa tem bolas vermelhas, brancas, ou rosas. Mostre que, se retirarmos 6 bolas da caixa, pelo menos duas delas serão da mesma cor.
(4) Qual o número mínimo de bolas que devemos retirar da caixa para garantirmos que temos duas bolas da mesma cor?
(5) Em torno do IMPA foram catalogadas 106 jaqueiras.
É conhecido que cada uma dessas jaqueiras não produz anualmente mais do que 92 frutos.
Mostre que duas dessas jaqueiras produziram, em 2024, a mesma quantidade de frutos.
(6) São escolhidos cinco pontos, ao acaso, sobre a superfície de um quadrado de lado 2.
Mostre que pelo menos um dos segmentos determinados por dois desses pontos tem comprimento, no máximo, igual a √2.
(7) Mostre que, se 21 pombos entram em 10 casas de pombo, então pelo menos 3 pombos entram na mesma casa.
(8) A Mega-Sena paga o prêmio principal para o acertador dos 6 números sorteados dentre os 60 disponíveis no volante de apostas.
Uma aposta mínima consiste na escolha de 6 números dentre os 60 disponíveis.
(a) Quantas apostas mínimas em um mesmo sorteio da Mega Sena que devemos fazer para termos a certeza
de que ganharemos o prêmio principal?
Vamos chamar essa quantidade de apostas mínimas em um mesmo sorteio da Mega Sena de "aposta garantida".
(b) Sabendo que a aposta mínima custa 5 reais, de quanto deve ser o prêmio para que essa "aposta garantida" não seja um prejuízo?
(*) Problemas da Sala de Estudos Princípio das Casas de Pombos, da OBMEP:
[link].
(**) Marcia Cerioli, Renata de Freitas, e Petrucio Viana,
Princípio das casas de pombo,
UFF, Niterói, 2014.
* Mais exercícios (opcionais)
. Quadradinhos da Vovó
. Fantasma Blitz
. Campeonato Carioca Feminino 2024
. Sorteio com dado
.
A propósito do método de contagem por princípios, vejam esse trecho de um texto que o Professor Edsger W. Dijkstra escreveu para sua turma (a versão em português é minha):
"(...) Just as a professor at a conservatory represents a musical style (to the extent that it is often possible to identify the master by listening to his pupils), I represent a mathematical style. It is up to you to decide later to what degree to adopt and to improve it. One thing, however, you are not allowed to do, viz. to reject it offhand for the sole reason that it does not reflect the way of doing mathematics you are used to. Of course it doesn't! That is precisely why you are here. This whole course is no more and no less than an invitation to take the experiment of changing some of your reasoning habits and adopting some new modes of expression. As you take the experiment you will notice that it is not acquiring the new habits that presents the greatest problem, for that is getting rid of the old ones. Perfecting oneself is as much unlearning as it is learning. (...)"
Assim como um professor em um conservatório representa um estilo musical (a ponto de frequentemente ser possível identificar quem ensinou ao ouvir tocar o/a aprendiz), eu represento um estilo de [fazer] matemática. Cabe a você decidir, mais tarde, o quanto vai adotar meu estilo e aprimorá-lo. Uma coisa, no entanto, você não pode fazer, que é rejeitar meu estilo de antemão, pela única razão de que ele não reflete a maneira como você está acostumado a fazer matemática. É claro que não reflete! Esta é precisamente a razão pela qual você está aqui [na minha turma]. Este curso é nada mais nada menos que um convite para experimentar uma mudança de hábitos de raciocínio e adotar algumas novas maneiras de se expressar. Conforme você for experimentando, você vai perceber que não é a aquisição de novos hábitos que representa o maior problema, mas, sim, se livrar dos hábitos antigos. Aperfeiçoar-se é muito mais desaprender do que aprender.