Exercícios

Lembre que "fazer" exercícios é igual a "tentar fazer", discutir com outras pessoas, e formular perguntas; e não é "ver a resolução" do exercício (no quadro, no caderno de outra pessoa, no gabarito, etc).

24/9/2024
- Ler o Capítulo 2 e a Seção 3.1 do Capítulo 3 do livro Combinatória de Contagem.
- Estudar o Capítulo 6 do livro Combinatória de Contagem e fazer os exercícios 1, 2, e 3 da Seção 6.4 do Capítulo 6 (página 54 e seguintes).
* Opcional: quem está acompanhando as aulas pelo Morgado, pode fazer os exercícios 1 a 5 [pdf] da Seção 2.1, o Exercício 1 [pdf] e os exercícios 4,5,8,10,11,12,13 [pdf], da Seção 2.2.

26/9/2024
- Estudar o Capítulo 5 do livro Combinatória de Contagem e fazer os exercícios da Seção 5.5 (página 43 e seguintes).
- Estudar o Capítulo 4 do livro Combinatória de Contagem e fazer os exercícios da Seção 4.4 (páginas 32 e 33).
* Opcional: quem está acompanhando as aulas pelo Morgado, pode fazer os exercícios 7,9,10,12,13,15 [pdf] da Seção 2.1 e os exercícios 3 e 9 [pdf], da Seção 2.2.

1/10/2024
* Opcional: leia o Capítulo 1 do livro Paulo Carvalho, Métodos de Contagem e Probabilidade, IMPA/OBMEP, Rio de Janeiro, 2015 [pdf] e procure identificar os princípios de contagem que são usados na resolução dos problemas apresentados nos exemplos desse capítulo.

3/10/2024
- Estudar o Capítulo 10 do livro Combinatória de Contagem e fazer os exercícios desse capítulo.

8/10/2024
- Estudar o Capítulo 8 do livro Combinatória de Contagem e fazer os exercícios da Seção 8.4 (página 90 e seguintes).

10/10/2024
- Fazer os exercícios do Fantasma Blitz.

22/10/2024
- Estudar o Capítulo 7 do livro Combinatória de Contagem e fazer os exercícios desse capítulo.

24/10/2024
- Estudar a Seção 7.2 do Capítulo 7 do livro Combinatória de Contagem e fazer os exercícios dessa seção.
- Quantas são os anagramas da palavra ESSES?

29/10/2024

- Sabendo que as ruas dos quarteirões mostrados na figura têm mão única: as ruas na horizontal têm o sentido único na direção leste e as ruas na vertical o sentido único para o norte, de quantas maneiras um carro pode fazer o caminho do ponto A até o ponto B?

31/10/2024
- Estudar a Seção 7.1 do Capítulo 7 do livro Combinatória de Contagem e fazer os exercícios dessa seção.

7/11/2024
- Exercício proposto pelo Guilherme:
Durante a festa de comemoração dos 10 anos de Pedro, o palhaço que animava a festa jogou para o alto 8 bombons e somente 3 crianças correram para pegá-los. De quantas maneiras diferentes esses 8 bombons podem ser assim distribuídos, sabendo que todos os 8 bombons foram encontrados?

12/11/2024
- Resolver os exercícios de revisão do Capítulo 6 livro Augusto Morgado e Paulo Carvalho, Matemática Discreta, SBM, 2022 (páginas 139 a 142).

14/11/2024
- Problema 2: Ao refazer seu calendário escolar para o segundo semestre, uma escola decidiu repor algumas aulas em exatamente quatro dos nove sábados disponíveis nos meses de outubro e novembro, com a condição de que não fossem utilizados dois sábados consecutivos. Quantas são as possibilidades distintas de se atender às condições dessa reposição?
- Problema 3: As provas de Aritmética, Álgebra, Combinatória, Geometria e Trigonometria de um Clube de Matemática devem ocorrer nas primeiras duas semanas do mês de março. De quantos modos os professores podem realizar essas provas de modo que não haja provas em dias consecutivos?
- Problema 4: A professora Sonia planejou ter três encontros semanais com seus alunos do Clube de Matemática durante um ano. Quantos são os modos de ela fixar os três dias das aulas, se os alunos não podem ter aulas em dias consecutivos?
- Problema 5: Quatro amigos, Alex, Bruno, Carlos e Daniel, devem se sentar em 15 cadeiras colocadas em torno de uma mesa circular. De quantos modos esses quatro amigos podem se sentar de modo que não haja ocupação de cadeiras adjacentes?
(Problemas da Sala de Estudos Lemas de Kaplansky - Clubes de Matemática da OBMEP)

Revisão para a V1
Exercícios de Contagem do livro: Paulo Carvalho, Métodos de Contagem e Probabilidade, páginas 11 a 15, e 36 a 38 [pdf].

28/11/2024 - Permutações caóticas
- Problema 3: Quantos são os anagramas da palavra CLUBE, nos quais nenhuma das letras está na sua posição original?
- Problema 4: Professores que utilizam quadro branco contam cada vez mais com novas possibilidades de cores a utilizar. Isto facilita principalmente àqueles que lecionam geometria ou mesmo os que desejam colorir pelo simples fato da diversidade. O professor Cleber, muito caprichoso, comprou as 6 canetas abaixo (preta, azul, verde, alaranjada, vermelha e roxa). Utilizando todas elas na apresentação de certo conteúdo, ele confundiu-se e errou ao colocar a tampa de todas elas, de forma que nenhuma delas ficou com a tampa correta, correspondente à sua cor. De quantas maneiras distintas essa confusão pode ocorrer?
- Problema 5 (FUVEST): Cláudia, Paulo, Rodrigo e Ana brincam entre si de amigo-secreto (ou amigo-oculto). O nome de cada um deles é escrito em pedaços de papel, que são colocados em uma urna, e cada participante retira um desses papéis ao acaso. A probabilidade de que nenhum participante retire seu próprio nome é:
(a) 1/4 (b) 7/4 (c) 1/3 (d) 3/8 (e) 5/12
- Problema 6 (Extraído de Morgado et al.): Dois médicos devem examinar, durante uma mesma hora, 6 pacientes, gastando 10 minutos com cada paciente. Cada um dos 6 pacientes deve ser examinado pelos dois médicos. De quantos modos pode ser feito um horário compatível?
- Problema 7 (UERJ – Adaptado): Com o intuito de separar o lixo para fins de reciclagem, uma instituição colocou em suas dependências cinco lixeiras de diferentes cores, de acordo com o tipo de resíduo a que se destinam: vidro, plástico, metal, papel e lixo orgânico. João coleta cinco materiais (um para cada lixeira). Sem olhar para as lixeiras, João joga os cinco resíduos, de modo que todas as lixeiras ficam com apenas um resíduo. Sabendo que apenas dois materiais ficaram nas lixeiras corretas, de quantos modos João pode ter jogado os resíduos?
- Problema 8 (UFSC – Adaptado): Entre as últimas tendências da moda, pintar as unhas ganha um novo estilo chamado de “dedo único”. A arte consiste em pintar a unha do dedo anelar de branco e as demais unhas com cores diferentes de branco e distintas entre si. O mesmo procedimento é repetido na outra mão, porém, excetuando o dedo anelar, os dedos correspondentes não podem possuir a mesma cor. Renata tem 5 cores diferentes de esmalte (azul, branco, amarelo, rosa e verde) e vai pintar as unhas dessa forma, para a Parada do Orgulho LGBTQIA+ de Niterói. De quantas maneiras ela pode pintar as unhas no estilo "dedo único"?

- Problema 9: Seis equipes concorrem em uma competição automobilística, em que cada equipe possui dois carros de mesma cor. Para a largada são formadas duas colunas de carros lado a lado, de tal forma que cada equipe tenha um carro em cada coluna e, obrigatoriamente, apenas duas equipes devem possuir seus carros lado a lado. Determine o número de formações possíveis para a largada.
- Problema 10 (IME): A figura abaixo é composta de 16 quadrados. De quantas formas é possível preencher estes quadrados com os números 1, 2, 3 e 4, de modo que um número não pode aparecer 2 vezes em uma mesma linha, não pode aparecer 2 vezes em uma mesma coluna, não pode aparecer 2 vezes em cada um dos quatro quadrados demarcados pelas linhas contínuas.

(Problemas da Sala de Estudos Permutações Caóticas - Clubes de Matemática da OBMEP)

3/12/2024 - Permutações caóticas
Considere a definição a seguir:
Seja n um número natural não nulo. O número de permutações caóticas de uma sequência de n objetos é: D(n) = C(n,0)n! - C(n,1)(n-1)! + C(n,2)(n-2)! - C(n,3)(n-3)! + ... + (-1)^n C(n,n)0!
Prove que, para todo número natural não nulo n, temos que:
(a) D(n) = n!(1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)^n 1/n!).
(b) D(1)=0, D(2)=1, e D(n)=(n-1)(D(n-2)+D(n-1)) quando n>2.

5/12/2024 - Relações de recorrência e provas por indução
(1) Considere a definição a seguir:
Seja n um número natural não nulo. O número mínimo de movimentos para mover a Torre de Hanói de n discos de um pino a outro é h(1) = 1, e h(n) = 2 h(n-1) + 1 quando n>1.
Verifique se, para todo número natural não nulo n, temos que h(n) = 2^n - 1.
(2) Considere a definição a seguir:
Seja n um número natural não nulo. O número de maneiras distintas de ordenar n objetos é o(1) = 1, e o(n) = n . o(n) quando n>1.
Prove que, para todo número natural não nulo n, temos que o(n) = n!
(3) Encontre uma relação de recorrência para:
(a) a quantidade l(n) de configurações possíveis de n lâmpadas dispostas em linha em uma bancada, cada uma podendo estar acesa ou apagada, de modo que não haja lâmpadas adjacentes acesas,
(b) a quantidade d(n) de diagonais de um polígono convexo de n lados,
(c) a quantidade a(n) de apertos de mão entre as n pessoas convidadas de uma festa em que todas as pessoas se cumprimentaram, exatamente uma vez, com um aperto de mão,
(d) a quantidade b(n) de sequências de zeros e uns de tamanho n,
(e) a quantidade i(n) de sequências de zeros e uns de tamanho n, que possuem um número ímpar de zeros.

10/12/2024 - Relações de recorrência e provas por indução
(1) A sequência de números triangulares é definida pela relação de recorrência a seguir:
T(1) = 1, e T(n) = T(n-1)+n quando n>1.

(a) Mostre que, para todo número natural não nulo n, temos que T(n) = n(n+1)/2.
(b) Mostre também que, para todo número natural não nulo n, temos que 1+2+3+...+n = n(n+1)/2.
(2) A sequência de números quadrados é apresentada a seguir:

(a) Encontre uma relação de recorrência para a sequência de números quadrados Q(n).
(b) Mostre que, para todo número natural não nulo n, temos que Q(n) = n^2.
(c) Mostre também que, para todo número natural não nulo n, T(n)+T(n+1)=Q(n) (a soma de números triangulares consecutivos é um número quadrado).

12/12/2024 - Relações de recorrência e provas por indução
(1) Encontre uma relação de recorrência para a sequência de números ímpares I(n).
(2) Mostre que, para todo número natural não nulo n, temos que I(n) = 2n-1.
(3) Encontre uma relação de recorrência para a sequência de somas dos n primeiros números ímpares SI(n). (Por exemplo, SI(4)=1+3+5+7 é a soma dos 4 primeiros números ímpares.)

17/12/2024 - Estruturas matemáticas em Combinatória
Resumo do que falamos em aula: [pdf].

* Mais exercícios (opcionais)
. Campeonato Carioca Feminino 2024 . Fantasma Blitz . Quadradinhos da Vovó . Sorteio com dado .

Testes
. Teste 1 (sugestão de resolução)
. Teste 2 (sugestão de resolução)
. Teste 3 (sugestão de resolução)

* Capítulo 6 do Augusto Morgado e Paulo Carvalho, Matemática Discreta, Coleção Profmat, SBM, 2022 (opcional) [pdf].