Exercícios

Lembre que "fazer" exercícios é igual a "tentar fazer" exercícios, discutir com outras pessoas, e formular perguntas; e não é "ver a resolução" do exercício (no quadro, no caderno de outra pessoa, no gabarito, etc).

25/3/2025 - Estruturas e configurações
- Ler o Capítulo 2 e a Seção 3.1 do Capítulo 3 do livro Combinatória de Contagem.

27/3/2025 - O Método dos Princípios de Contagem
- Ler o Capítulo 3 do livro Combinatória de Contagem.
- Considere os Problemas de Contagem listados a seguir, mas não resolva os problemas. Ao invés disso, identifique as configurações a serem contadas e os objetos básicos a partir das quais as configurações são formadas, escolha uma notação adequada para representar as configurações, descreva como podemos obter (de maneira única, todas e apenas) configurações a partir dos objetos básicos através de uma sequência de escolhas (decisões). Repito: não resolva os problemas.
(a) Quantas palavras contendo 3 letras diferentes podem ser formadas com um alfabeto de 26 letras?
(b) Quantos são os gabaritos possíveis de um teste de 10 questões de múltipla-escolha, com 5 alternativas por questão?
(c) Quantos inteiros há entre 1000 e 9999 cujos algarismos são distintos?
(d) De quantos modos diferentes podem ser escolhidos um presidente e um secretário de um conselho que tem 12 membros?
(e) De quantos modos 3 pessoas podem sentar-se em 5 cadeiras em fila?
(Morgado et.al. pp. 22 ss)

1/4/2025 - Princípio da Multiplicação
- Estudar o Capítulo 6 do livro Combinatória de Contagem e fazer os exercícios 1, 2, e 3 da Seção 6.4 do Capítulo 6 (página 54 e seguintes).
* Opcional: quem está acompanhando as aulas pelo Morgado, pode fazer os exercícios 1 a 5 [pdf] da Seção 2.1, o Exercício 1 [pdf] e os exercícios 4,5,8,10,11,12,13 [pdf], da Seção 2.2.

3/4/2025 - Princípio da Adição
- Resolver os exercícios da lista Quadradinhos da Vovó.

8/4/2025 - Princípio da Adição
- As peças do jogo Triminó são triângulos, com as pontas numeradas de 0 a 5 (como na figura). Quantas são as peças do Triminó? (Cuidado: note que as duas peças em destaque na figura não são iguais.)

10/4/2025 - Princípio k para 1
- Estudar o Capítulo 8 do livro Combinatória de Contagem, fazer os exercícios do Capítulo 8.
- Resolver os exercícios 1 a 5 da lista Campeonato Carioca Feminino 2024.
- Resolver os exercícios da lista Fantasma Blitz.
* Opcional: quem está acompanhando as aulas pelo Morgado, pode fazer o exercício 11 [pdf] da Seção 2.1 e os exercícios 10,11,12,13 [pdf], da Seção 2.2.

24/4/2025 - Arranjo, Permutação, Combinação
- Estudar o Capítulo 7 do livro Combinatória de Contagem, fazer os exercícios do Capítulo 7.
- Estudar a Seção 9.3 (Capítulo 9) do livro Combinatória de Contagem, fazer os exercícios da Seção 9.4.
- Dentre as configurações que você contou, na resolução da questão do Teste 2, identifique os arranjos, as permutações, e as combinações. [Teste 2].
* Desafio: quantas são as trincas de ases de um baralho de Buraco formado por 2 baralhos comuns iguais (com a mesma cor do verso das cartas: ambos com o verso das cartas na cor verde, ou ambos com verso azul)? [Teste 2].

29/4/2025 - Permutações circulares
- Comece a estudar a Seção 9.1 (Capítulo 9) do livro Combinatória de Contagem.
- Veja também os exemplos da Sala de Estudos Permutações Circulares - Clubes de Matemática da OBMEP.

21/5/2025 - Mais exercícios
- Resolva os exercícios de Contagem do livro: Paulo Carvalho, Métodos de Contagem e Probabilidade, páginas 11 a 15, e 36 a 38 [pdf].

29/5/2025 - Permutações com repetição
- Quantos são os anagramas da palavra MATEMÁTICA?
- Quantos são os anagramas da palavra ESSES?
- Durante a festa de comemoração dos 10 anos de Leila, o palhaço que animava a festa jogou para o alto 8 bombons e somente 3 crianças correram para pegá-los. De quantas maneiras diferentes esses 8 bombons podem ser assim distribuídos, sabendo que todos os 8 bombons foram encontrados? - Veja também os exemplos da Sala de Estudos Permutações Circulares - Clubes de Matemática da OBMEP.

3/6/2025 - Princípio da Inclusão-Exclusão
- Estude o Capítulo 10 do livro Combinatória de Contagem.
- Quantos são os anagramas da palavra BRASIL em que a letra B ocorre na primeira posição, ou a letra R ocorre na segunda posição, ou a letra L ocorre na sexta posição?
- Quantos são os anagramas da palavra CONTAGEM em que as vogais não ocupam suas posições originais (a letra O não está na segunda posição, a letra A não está na quinta posição, nem a letra E está na sétima posição)?

5/6/2025 - Permutações Caóticas
- Considere a definição a seguir:
Seja n um número natural não nulo. O número de permutações caóticas de uma sequência de n objetos é: D(n) = C(n,0)n! - C(n,1)(n-1)! + C(n,2)(n-2)! - C(n,3)(n-3)! + ... + (-1)^n C(n,n)0!
Prove que, para todo número natural não nulo n, temos que:
(a) D(n) = n!(1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)^n 1/n!).
(b) D(1)=0, D(2)=1, e D(n)=(n-1)(D(n-2)+D(n-1)) quando n>2. - Tente fazer também os problemas da Sala de Estudos Permutações Caóticas - Clubes de Matemática da OBMEP.

10/6/2025 - Relações de recorrência e provas por indução
(1) A sequência de números triangulares é definida pela relação de recorrência a seguir:
T(1) = 1, e T(n) = T(n-1)+n quando n>1.

(a) Mostre que, para todo número natural não nulo n, temos que T(n) = n(n+1)/2.
(b) Mostre também que, para todo número natural não nulo n, temos que 1+2+3+...+n = n(n+1)/2.
(2) A sequência de números quadrados é apresentada a seguir:

(a) Encontre uma relação de recorrência para a sequência de números quadrados Q(n).
(b) Mostre que, para todo número natural não nulo n, temos que Q(n) = n^2.
(c) Mostre também que, para todo número natural não nulo n, T(n)+T(n+1)=Q(n) (a soma de números triangulares consecutivos é um número quadrado).
(3) Considere a sequência I(n) de números ímpares.
(a) Encontre uma relação de recorrência para a sequência de números ímpares I(n).
(b) Mostre que, para todo número natural não nulo n, temos que I(n) = 2n-1.
(c) Encontre uma relação de recorrência para a sequência de somas dos n primeiros números ímpares SI(n). (Por exemplo, SI(4)=1+3+5+7 é a soma dos 4 primeiros números ímpares.)

12/6/2025 - Princípio das Casas de Pombo
Assista ao vídeo O Princípio do Pombal: [youtube] (série Isto é Matemática, da Sociedade Portuguesa de Matemática - episódio 8, temporada 6) e faça os exercícios:
(1) Mostre que, se uma turma tem 15 pessoas inscritas, pelo menos duas delas fazem aniversário no mesmo mês.
(2) Qual o número mínimo de pessoas que devemos reunir para que tenhamos certeza de que duas entre elas fazem aniversário no mesmo mês?
(3) Uma caixa tem bolas vermelhas, brancas, ou rosas. Mostre que, se retirarmos 6 bolas da caixa, pelo menos duas delas serão da mesma cor.
(4) Qual o número mínimo de bolas que devemos retirar da caixa para garantirmos que temos duas bolas da mesma cor?
(5) Em torno do IMPA foram catalogadas 106 jaqueiras. É conhecido que cada uma dessas jaqueiras não produz anualmente mais do que 92 frutos. Mostre que duas dessas jaqueiras produziram, em 2024, a mesma quantidade de frutos.
(6) São escolhidos cinco pontos, ao acaso, sobre a superfície de um quadrado de lado 2. Mostre que pelo menos um dos segmentos determinados por dois desses pontos tem comprimento, no máximo, igual a √2.
(7) Mostre que, se 21 pombos entram em 10 casas de pombo, então pelo menos 3 pombos entram na mesma casa.
(8) A Mega-Sena paga o prêmio principal para o acertador dos 6 números sorteados dentre os 60 disponíveis no volante de a​postas. Uma aposta mínima consiste na escolha de 6 números dentre os 60 disponíveis. (a) Quantas apostas mínimas em um mesmo sorteio da Mega Sena que devemos fazer para termos a certeza de que ganharemos o prêmio principal? Vamos chamar essa quantidade de apostas mínimas em um mesmo sorteio da Mega Sena de "aposta garantida". (b) Sabendo que a aposta mínima custa 5 reais, de quanto deve ser o prêmio para que essa "aposta garantida" não seja um prejuízo?
(*) Problemas da Sala de Estudos Princípio das Casas de Pombos, da OBMEP: [link].
(**) Marcia Cerioli, Renata de Freitas, e Petrucio Viana, Princípio das casas de pombo, UFF, Niterói, 2014.

* Mais exercícios (opcionais)
. Quadradinhos da Vovó . Fantasma Blitz . Campeonato Carioca Feminino 2024 . Sorteio com dado .