Renata de Freitas

Introdução à Análise Combinatória

Turma L2, 2026-1 - Terças e quintas, 20-22h
Sala 304, bloco G, Gragoatá
Email da turma: combinatoria_2026-1@id.uff.br (com a participação da professora)

Profa Renata de Freitas (renatafreitas@id.uff.br)
Atendimento: gabinete 45, 4o andar, ala C, bloco G, Gragoatá (com agendamento por email)

Calendário

Verificações de Aprendizagem

V1 - 05 questões, valendo 2 pontos cada, aplicadas quinzenalmente no final das aulas de quinta, nos dias 26/3, 9/4, 7/5, 21/5, e 9/6.
V2 - 28 de abril (terça)
V3 - 16 de junho (terça)
2a Chamada - 23 de junho (terça)
VS - 25 de junho (quinta)

Folgas

Tiradentes - 21 de abril (terça)

São Jorge - 23 de abril (quinta)

Corpus Christi - 4 de junho (quinta)

Exercícios

Lembre que "fazer" exercícios é igual a "tentar fazer" exercícios, discutir com outras pessoas, e formular perguntas; e não é "ver a resolução" do exercício (no quadro, no caderno de outra pessoa, no gabarito, etc).

10/3/2026 - Estruturas e configurações
- Leia o Capítulo 2 e a Seção 3.1 do Capítulo 3 do livro Combinatória de Contagem.
- Considere o problema: "Se devo à minha amiga e pago com a metade do dinheiro que tenho na bolsa, depois compro um café por 3 reais e me restam 12 reais, quanto dinheiro eu tinha na bolsa?" Esse é um Problema de Contagem?
- Considere as configurações listadas a seguir. Identifique os objetos básicos a partir das quais as configurações são formadas, escolha uma notação adequada para representar as configurações, descreva como podemos obter (de maneira única, todas e apenas) configurações a partir dos objetos básicos através de uma "receita passo a passo" (ou uma sequência de escolhas).
(a) Palavras constituídas de 3 letras diferentes que podem ser formadas com um alfabeto de 26 letras.
(b) Gabaritos de um teste de 10 questões de múltipla-escolha com 5 alternativas por questão.
(c) Inteiros entre 1000 e 9999 cujos algarismos são distintos.
(d) Modos diferentes de escolher um presidente e um secretário de um conselho que tem 12 membros.
(e) Modos de 3 pessoas sentarem em 5 cadeiras em fila.
(f) Modos de 3 pessoas sentarem em 5 cadeiras em fila, de maneira que fiquem juntas (sem cadeiras vazias entre elas).
(Morgado et.al. pp. 22 ss)

12/3/2026 - O Método dos Princípios de Contagem
- Leia o Capítulo 3 do livro Combinatória de Contagem.
- Considere os problemas de contagem a seguir, mas não os resolva. Ao invés disso, identifique nos problemas quais as configurações a serem contadas e os objetos básicos a partir das quais as configurações são formadas, tente escolher uma notação adequada para representar as configurações, descreva como podemos obter (de maneira única, todas e apenas) configurações a partir dos objetos básicos através de uma "receita passo a passo" (ou uma sequência de escolhas).
(a) De quantos modos distintos oito pessoas podem se sentar lado a lado em um cinema?
(b) Quantas placas de automóveis podem ser formadas sem repetição de letras e de algarismos?
[contribuição do Thiago]

* Mais exercícios (opcionais)
. Quadradinhos da Vovó . Fantasma Blitz . Campeonato Carioca Feminino 2024 . Sorteio com dado .

✏ Lista 1 ✏ Lista 2 ✏ Lista 3 ✏ Lista 4 ✏ Lista 5 ✏ Lista K ✏

Referências

Márcia Cerioli e Petrucio Viana, Combinatória de Contagem, Minicurso do II Colóquio de Matemática da Região Sul, Universidade Estadual de Londrina, 2012, disponível em http://www.uel.br/eventos/colmatsul/ (MC5 - Introdução aos Princípios de Contagem, na aba Minicursos).
Augusto Morgado et al., Análise Combinatória e Probabilidade, SBM, Rio de Janeiro, 1991.
Edward Scheinerman, Matemática Discreta, uma Introdução, 2a ed., Cengage Learning, São Paulo, 2011.
José Plínio Santos, Margarida Mello, Idani Murari, Introdução à Análise Combinatória, 4a ed., Ciência Moderna, Rio de Janeiro, 2007.
Paulo Carvalho, Métodos de Contagem e Probabilidade, IMPA, Rio de Janeiro, 2015. [pdf]
Marcia Cerioli, Renata de Freitas, e Petrucio Viana, Princípio das casas de pombo, UFF, Niterói, 2014.
Leonara Alves e Renata de Freitas, Método de Contagem por Princípios: resolução de exercícios, UFF, Niterói, 2015. [slides]
Renata de Freitas, Estruturas Matemáticas em Combinatória de Contagem, UFF, Niterói, 2024.

Observações

Faremos três verificações de aprendizagem: (V1), (V2), e (V3). A (V1) será constituída de cinco questões: (Q1), (Q2), (Q3), (Q4), e (Q5). Cada questão da (V1) terá o valor de 2,0 pontos. A (V2) e a (V3) terão o valor de 10,0 pontos cada. A média (M) será a média aritmética entre (V1), (V2), e (V1): (M) = (V1)+(V2)+(V3) / 3.
A vista de prova acontecerá sempre na aula seguinte à aplicação de cada verificação de aprendizagem.
A tolerância máxima de atraso em dias de verificação de aprendizagem é de 30 minutos. Por causa disso, não é permitido sair antes de decorridos 30 minutos do início da aula em dias de verificação de aprendizagem.
Não é permitido sair e retornar à sala em dias de verificação de aprendizagem (salvo em situação de urgência).
Não é permitido usar aparelhos eletrônicos (calculadora, celular, relógio, etc) durante a aplicação de uma verificação de aprendizagem.
A 2a Chamada está aberta a todes e obrigatoriamente substitui uma das notas anteriores, (V1) ou (V2) ou (V3), mesmo que a nota da 2a Chamada seja menor que as outras. Após decorridos 30 minutos de prova, você poderá optar por não fazer a 2a Chamada (se optar por não fazer, não assinará a lista de presença).
Está aprovade quem tiver média (M) maior ou igual a 6,0 e frequência igual ou superior a 75% (que corresponde a no máximo 7 faltas).
A VS - Verificação Suplementar seguirá as regras usuais da UFF: quem tiver frequência igual ou superior a 75% e média entre 4,0 e 5,9 pode fazer a VS, e estará aprovade se tiver nota maior ou igual a 6,0 na VS.
Só poderá fazer uma verificação de aprendizagem quem tiver frequência suficiente (número de faltas inferior a 25%, que corresponde a no máximo 7 faltas).
Qualquer dúvida, me escreva: renatafreitas@id.uff.br.

A propósito do método de contagem por princípios, vejam esse trecho de um texto que o Professor Edsger W. Dijkstra escreveu para sua turma (a versão em português é minha):

"(...) Just as a professor at a conservatory represents a musical style (to the extent that it is often possible to identify the master by listening to his pupils), I represent a mathematical style. It is up to you to decide later to what degree to adopt and to improve it. One thing, however, you are not allowed to do, viz. to reject it offhand for the sole reason that it does not reflect the way of doing mathematics you are used to. Of course it doesn't! That is precisely why you are here. This whole course is no more and no less than an invitation to take the experiment of changing some of your reasoning habits and adopting some new modes of expression. As you take the experiment you will notice that it is not acquiring the new habits that presents the greatest problem, for that is getting rid of the old ones. Perfecting oneself is as much unlearning as it is learning. (...)"

Assim como um professor em um conservatório representa um estilo musical (a ponto de frequentemente ser possível identificar quem ensinou ao ouvir tocar o/a aprendiz), eu represento um estilo de [fazer] matemática. Cabe a você decidir, mais tarde, o quanto vai adotar meu estilo e aprimorá-lo. Uma coisa, no entanto, você não pode fazer, que é rejeitar meu estilo de antemão, pela única razão de que ele não reflete a maneira como você está acostumado a fazer matemática. É claro que não reflete! Esta é precisamente a razão pela qual você está aqui [na minha turma]. Este curso é nada mais nada menos que um convite para experimentar uma mudança de hábitos de raciocínio e adotar algumas novas maneiras de se expressar. Conforme você for experimentando, você vai perceber que não é a aquisição de novos hábitos que representa o maior problema, mas, sim, se livrar dos hábitos antigos. Aperfeiçoar-se é muito mais desaprender do que aprender.