Álgebra Linear para Licenciatura

Turma L2, 2024-2 - Terças e quintas, 18-20h
Sala 208, bloco G, Gragoatá
Email da turma: alglin_2024-2@id.uff.br (com a participação da professora)

Profa Renata de Freitas (renatafreitas@id.uff.br)
Atendimento: gabinete 45, 4o andar, ala C, bloco G, Gragoatá (com agendamento por email)

Calendário

Exercícios

Lembre que "fazer" exercícios é igual a "tentar fazer", discutir com outras pessoas, e formular perguntas; e não é "ver a resolução" do exercício (no quadro, no caderno de outra pessoa, no gabarito, etc).

24/9/2024 - I. Resolva os sistemas, como você fazia no colégio:

1. (nas variáveis x,y)
   x-3y=1
   2x+y=5
2. (nas variáveis x,y)
   x-3y=-1
   2x+y=5
3. (nas variáveis x,y)
   6x+3y=9
   2x+y=5
4. (nas variáveis x,y)
   6x+3y=15
   2x+y=5

II. Identifique as equações lineares, escrevendo-as explicitamente na forma a₁x₁+a₂x₂+...+a_nx_n=b:

1. (nas variáveis x,y,z)
   -x+2y-3=7
2. (nas variáveis x,y,z)
   2z-2=0
3. (nas variáveis x,y)
   2x-√y=3 [2x menos a raiz quadrada de y é igual a 3]
4. (nas variáveis x,y)
   xy=4
5. (nas variáveis x,y)
   x^y=1
6. (nas variáveis x,y)
   log_yx=9

Cuidado que aqui tem pegadinha!

26/9/2024 - I. A matriz ampliada de um sistema de equações lineares nas variáveis x₁,x₂,...,x_n é uma matriz que tem uma linha para cada equação do sistema e cujas colunas são formadas assim: na primeira coluna, temos os coeficientes de x₁; na segunda coluna, temos os coeficientes de x₂; ... ; na n-ésima coluna, temos os coeficientes de x_n; na última coluna, temos os termos independentes. Por exemplo, a matriz ampliada do sistema:
(nas variáveis x e y)
2x-y=4
x+y=2
é a matriz
2 -1 4
1 1 2
Em cada item a seguir, escreva a matriz ampliada do sistema:

1. (nas variáveis x e y)
   2x-y=3
   x+3y=1
2. (nas variáveis x, y, e z)
   x+3y+z=1
   2x+5y-z=3
3. (na variável x)
   2x=6
4. (nas variáveis x e y)
   x-3y=-1
   2x+y=5
5. (nas variáveis x e y)
   6x+3y=9
   2x+y=5
6. (nas variáveis x e y)
   6x+3y=15
   2x+y=5
7. (nas variáveis x, y, e z)
   x+y+z=6
   2x-y+3z=11
   4x-3y+2z=0
   3x+y+z=4
8. (nas variáveis x, y, e z)
   x+y+z=6
   2x-y+3z=11
   4x-3y+2z=0
   3x+y+z=10
9. (nas variáveis x, y, z, e w)
   y+3z-2w=2
   2x+y-4z+3w=1
   2x+3y+z-w=5
   2y+6z-4w=4
10. (nas variáveis x, y, z, w, e u)
    x-y+z+w-u=0
    x+y+z+w+u=0
    x+y-z-w+u=0
    x-y+3z+3w-u=0
    

II. Em cada item a seguir, aplique a operação indicada no sistema dado para obter um novo sistema e escreva a matriz ampliada do novo sistema obtido.

1. Dado o sistema
   (nas variáveis x e y)
   2x-y=4
   x+y=2
   some as equações, coloque o resultado no lugar da primeira equação, e repita a segunda equação.
2. Dado o sistema
   (nas variáveis x e y)
   3x=6
   x+y=2
   multiplique a primeira equação por 1/3.
3. Dado o sistema
   (nas variáveis x e y)
   x=2
   x+y=2
   multiplique a segunda equação por -1.
4. Dado o sistema
   (nas variáveis x e y)
   x=2
   -x-y=-2
   some as equações, coloque o resultado no lugar da segunda equação, e repita a primeira equação.
5. Dado o sistema
   (nas variáveis x e y)
   x=2
   -y=0
   multiplique a segunda equação por -1.

1/10/2024 - Resolva os sistemas, usando o algoritmo de escalonamento (Método de Gauss-Jordan) [pdf]:

1. (nas variáveis x e y)
   2x-y=4
   x+y=2
2. (na variável x)
   2x=6
3. (nas variáveis x e y)
   2x-y=3
   x+3y=1
4. (nas variáveis x, y, e z)
   x+3y+z=1
   2x+5y-z=3
5. (nas variáveis x e y)
   x-3y=-1
   2x+y=5
6. (nas variáveis x e y)
   6x+3y=9
   2x+y=5
7. (nas variáveis x e y)
   6x+3y=15
   2x+y=5
8. (nas variáveis x, y, e z)
   x+y+z=6
   2x-y+3z=11
   4x-3y+2z=0
   3x+y+z=4
9. (nas variáveis x, y, e z)
   x+y+z=6
   2x-y+3z=11
   4x-3y+2z=0
   3x+y+z=10
10. (nas variáveis x, y, z, e w)
    y+3z-2w=2
    2x+y-4z+3w=1
    2x+3y+z-w=5
    2y+6z-4w=4
11. (nas variáveis x, y, z, w, e u)
    x-y+z+w-u=0
    x+y+z+w+u=0
    x+y-z-w+u=0
    x-y+3z+3w-u=0
    

* Opcional: quem está acompanhando as aulas pelo Boldrini, pode fazer os exercícios 1 a 3 [pdf] e os exercícios 5 a 7, e 10 a 16 [pdf], da Seção 2.6.
* Opcional: quem está acompanhando as aulas pelo Anton, estude a Sessão 1.1 do Capítulo 1, usando este guia de leitura: [guia 1] e resolva os exercícios dessa sessão: [pdf].
* Opcional: quem está acompanhando as aulas pelo Colombo-Koiller, resolva os exercícios do Capítulo 1.

3/10/2024 * Opcional: quem está acompanhando as aulas pelo Anton, estude a Sessão 1.2 do Capítulo 1, usando este guia de leitura: [guia 1] e resolva os exercícios 1 a 12, 25 a 32, 40, 41, e 43 dessa sessão: [pdf].

8/10/2024 - No finalzinho da aula, a Thaís comentou que só podemos resolver um sistema de equações lineares calculando a inversa da matriz de coeficientes (quando ela existe), quando o sistema tem o mesmo número de equações e variáveis (e, portanto, sua matriz de coeficientes é uma matriz quadrada). Eu respondi que, sim, isso é verdade. Mas que essa não é uma restrição importante, pois todo sistema de equações lineares é equivalente a um sistema com o mesmo número de equações e variáveis. A partir dessa conversa, começamos a resolver o seguinte exercício: [Exercício Extra A].
* Opcional: quem está acompanhando as aulas pelo Anton, Estude as Sessões 1.4, 1.5, e 1.6 do Capítulo 1 do Anton-Rorres, usando este guia de leitura: [guia 2] e resolva os exercícios 13 a 24, 39, 42, e os Exercícios verdadeiro/falso da Sessão 1.2: [pdf], os exercícios 9 a 28, 41 a 43, e os Exercícios Verdadeiro/Falso da Sessão 1.5: [pdf], e os exercícios 1 a 8, e os Exercícios verdadeiro/falso da Sessão 1.6: [pdf].

22/10/2024

1. Estude as Sessões 2.1 e 2.2 do Capítulo 2 do Anton-Rorres, usando este guia de leitura: [guia 3].
2. Resolva os exercícios 10 a 17 da Sessão 2.2: [pdf].

24/10/2024

1. Estude a Sessão 4.2 do Capítulo 4 do Anton-Rorres, usando este guia de leitura: [guia 4].
2. Resolva os exercícios 1, 6 e 15, e os exercícios Verdadeiro/Falso itens (a-i) da Sessão 4.2: [pdf].

31/10/2024

1. Será que o vetor (8,8,7) é uma combinação linear dos vetores (3,5,7) e (1,1,1)?
2. Qual será o sistema homogêneo cujo conjunto de soluções é:
   (a) {(0,5k,9k) : k é um número real}
   (b) {(2k,3k,5k) : k é um número real}
   (c) {(ak,bk,ck) : k é um número real}, onde a, b, e c são números reais dados
3. Continue a estudar a Sessão 4.2 do Capítulo 4 do Anton-Rorres, usando este guia de leitura: [guia 4].
4. Resolva os exercícios 7, 8, 11, 12, 18, e 20, da Sessão 4.2: [pdf].

5/11/2024

1. Resolva o sistema proposto pelo Leonardo:
   x-3y=3
   2x+4y=1
   4x+3z=-2
   w=1
   Resolva também o sistema homogêneo associado ao sistema do Leonardo.
2. Determine o espaço gerado pelos vetores (3,5,7) e (1,1,1).
3. Qual será o sistema homogêneo cujo conjunto de soluções é {x(3,5,7)+y(1,1,1) : x e y são números reais}
4. Continue a estudar a Sessão 4.2 do Capítulo 4 do Anton-Rorres, usando este guia de leitura: [guia 4]. e a resolver os exercícios.

08/11/2024

1. Estude a Sessão 4.3 do Capítulo 4 do Anton-Rorres, usando este guia de leitura: [guia 5].
2. Resolva os exercícios 1, 2, 3, 5 a 13, 15 a 19, e os Exercícios verdadeiro/falso itens (a,b,c,d,e) da Sessão 4.3: [pdf].

14/11/2024

1. Refaça a Primeira Verificação da Aprendizagem: [V1].
2. Na próxima aula teremos a vista de prova.

21/11/2024

1. Estude as sessões 4.4 e 4.5 do Capítulo 4 do Anton-Rorres, usando os guias de leitura: [guia 5] e [guia 6].
2. Resolva os exercícios 1(a,b), 2, 3, 7, 8, 9, e os Exercícios verdadeiro/falso itens (a,b,c,d) da Sessão 4.4: [pdf], e os exercícios 1 a 8, 12 a 16, e os Exercícios verdadeiro/falso itens (a,b,c,d,e,f,g) da Sessão 4.5: [pdf].

10/12/2024 - Transformações lineares

1. Mostre que as seguintes funções de R3 em R2 não são transformações lineares:
   (a) f(x,y,z)=(y+z,x^2)
   (b) g(x,y,z)=(2x-3,x+y-z)
2. Estude a Sessão 4.9 do Capítulo 4 do Anton-Rorres, usando este guia de leitura: [guia7].
3. Resolva os exercícios 1 a 21, 22 a 25, 29 a 35, e os Exercícios verdadeiro/falso da Sessão 4.9: [pdf].
4. (Opcional) Cardinalidade de conjuntos infinitos - O Hotel de Hilbert [vídeo].

Resultados

Referências

• Textos

  • H. Anton e C. Rorres, Álgebra Linear com Aplicações, 10a edição, Bookman, Porto Alegre, 2012.
  • J. L. Boldrini et al., Álgebra Linear, Harbra, 1978.
  • Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear, Instituto de Matemática da UFRJ, Rio de Janeiro, 2012 [pdf].
  • C. A. Callioli, H. Domingues, e R. C. F. Costa, Álgebra Linear e Aplicações, Atual, 1993.
  • Jones Colombo e José Koiller, Álgebra Linear, GAN/IME-UFF, 2019 (texto em preparação) [drive] [github].
  • S. Lipschutz, M.L. Lipson, Álgebra Linear, quarta edição, Bookman, 2011 (Coleção Schaum).
  • D. Poole, Álgebra Linear, Pioneira Thomson Learning, 2004.

• Ferramentas online

  • Linear Algebra Toolkit.
  • Calculadora de Matriz.
  • Matrix Calculator.

• Vídeos

  • Playlist do Cabral & Goldfeld: Capítulos 1 a 7.
  • Playlist do Prof João Gondim (Universidade Federal Rural de Pernambuco): Álgebra Linear.
  • Playlist do Programa de Iniciação Científica do IMPA: Introdução à Álgebra Linear.
  • Playlist do canal 3Blue1Brown (em inglês, com legendas em português): A essência da Álgebra Linear.
  • Uma aplicação de Álgebra Linear a ferramentas de busca na internet: Isto é Matemática, 1a temporada, episódio 2.

Observações

1. Faremos duas verificações de aprendizagem: (V1) e (V2), e seis testes: (T1), (T2), (T3), (T4), (T5), e (T6). Cada teste terá o valor de 2,0 pontos e a soma (T) = (T1) + (T2) + (T3) + (T4) + (T5) + (T6) vai contar como uma das notas para compor a média. A média (M) será a média aritmética entre (V1), (V2), e (T): (M) = (V1)+(V2)+(T) / 3.
2. A vista de prova acontecerá sempre na aula seguinte à aplicação de cada verificação de aprendizagem.
3. A tolerância máxima de atraso em dias de verificação de aprendizagem é de 30 minutos. Por causa disso, não é permitido sair antes de decorridos 30 minutos do início da aula em dias de verificação de aprendizagem.
4. Não é permitido sair e retornar à sala em dias de verificação de aprendizagem (salvo em situação de urgência).
5. Não é permitido usar aparelhos eletrônicos (calculadora, celular, relógio, etc) durante a aplicação de uma verificação de aprendizagem.
6. A 2a Chamada está aberta a todes e obrigatoriamente substitui uma das notas anteriores, (V1) ou (V2) ou (T), mesmo que a nota da 2a Chamada seja menor que as outras. Após decorridos 30 minutos de prova, você poderá optar por não fazer a 2a Chamada (se optar por não fazer, não assinará a lista de presença).
7. Está aprovade quem tiver média maior ou igual a 6,0 e frequência igual ou superior a 75% (que corresponde a no máximo 7 faltas).
8. A VS - Verificação Suplementar seguirá as regras usuais da UFF: quem tiver frequência igual ou superior a 75% e média entre 4,0 e 5,9 pode fazer a VS, e estará aprovade se tiver nota maior ou igual a 6,0 na VS.
9. Só poderá fazer uma verificação de aprendizagem quem tiver frequência suficiente (número de faltas inferior a 25%, que corresponde a no máximo 7 faltas).
10. Qualquer dúvida, me escreva: renatafreitas@id.uff.br.