Álgebra Linear para Licenciatura

Turma L2, 2025-1 - Terças e quintas, 18-20h
Sala 302, bloco G, Gragoatá (a partir de abril)
Email da turma: alglin_2025-1@id.uff.br (com a participação da professora)

Profa Renata de Freitas (renatafreitas@id.uff.br)
Atendimento: gabinete 45, 4o andar, ala C, bloco G, Gragoatá (com agendamento por email)

Calendário

Exercícios

Lembre que "fazer" exercícios é igual a "tentar fazer" exercícios, discutir com outras pessoas, e formular perguntas; e não é "ver a resolução" do exercício (no quadro, no caderno de outra pessoa, no gabarito, etc).

25/3/2025 - Resolução de sistemas de equações lineares

I. Resolva os sistemas, como você fazia no colégio:

1. (nas variáveis x,y)
   x-3y=-1
   2x+y=5
2. (nas variáveis x,y)
   6x+3y=9
   2x+y=5
3. (nas variáveis x,y)
   6x+3y=15
   2x+y=5

II. Identifique as equações lineares, escrevendo-as explicitamente na forma a₁x₁+a₂x₂+...+a_nx_n=b:

1. (nas variáveis x,y,z)
   -x+2y-3=7
2. (nas variáveis x,y,z)
   2z-2=0
3. (nas variáveis x,y)
   2x-√y=3 [2x menos a raiz quadrada de y é igual a 3]
4. (nas variáveis x,y)
   xy=4
5. (nas variáveis x,y)
   x^y=1
6. (nas variáveis x,y)
   log_yx=9

Cuidado que aqui tem pegadinha!

27/3/2025 - Resolução de sistemas por escalonamento

I- Resolva os sistemas, usando o algoritmo de escalonamento (Método de Gauss-Jordan) [pdf]:

1. (nas variáveis x e y)
   2x-y=4
   x+y=2
2. (na variável x)
   2x=6
3. (nas variáveis x e y)
   2x-y=3
   x+3y=1
4. (nas variáveis x, y, e z)
   x+3y+z=1
   2x+5y-z=3
5. (nas variáveis x e y)
   x-3y=-1
   2x+y=5
6. (nas variáveis x e y)
   6x+3y=9
   2x+y=5
7. (nas variáveis x e y)
   6x+3y=15
   2x+y=5
8. (nas variáveis x, y, e z)
   x+y+z=6
   2x-y+3z=11
   4x-3y+2z=0
   3x+y+z=4
9. (nas variáveis x, y, e z)
   x+y+z=6
   2x-y+3z=11
   4x-3y+2z=0
   3x+y+z=10
10. (nas variáveis x, y, z, e w)
    y+3z-2w=2
    2x+y-4z+3w=1
    2x+3y+z-w=5
    2y+6z-4w=4
11. (nas variáveis x, y, z, w, e u)
    x-y+z+w-u=0
    x+y+z+w+u=0
    x+y-z-w+u=0
    x-y+3z+3w-u=0
    

II - Comece a resolver os exercícios da Lista A.

* Opcional: quem está acompanhando as aulas pelo Anton, estude a Seção 1.1 do Capítulo 1, usando este guia de leitura: [guia 1] e resolva os exercícios dessa seção: [pdf].

* Opcional: quem está acompanhando as aulas pelo Colombo-Koiller, resolva os exercícios do Capítulo 1.

1/4/2025 - Forma escalonada e forma escalonada reduzida de uma matriz

* Opcional: quem está acompanhando as aulas pelo Anton, estude a Seção 1.2 do Capítulo 1, usando este guia de leitura: [guia 1] e resolva os exercícios 1 a 12, 25 a 32, 40, 41, e 43 dessa seção: [pdf].

3/4/2025 - Representação matricial de um sistema

- Continue a resolver os exercícios da Lista A.

* Opcional: No finalzinho de uma aula, no início do período passado, a Thaís (uma aluna da turma) comentou que só podemos resolver um sistema de equações lineares calculando a inversa da matriz de coeficientes (quando ela existe), quando o sistema tem o mesmo número de equações e variáveis (e, portanto, sua matriz de coeficientes é uma matriz quadrada). Eu respondi que, sim, isso é verdade. Mas que essa não é uma restrição importante, pois todo sistema de equações lineares é equivalente a um sistema com o mesmo número de equações e variáveis. Para pensar um pouco mais sobre isso, vamos resolver o seguinte exercício: [Exercício Extra A].

* Opcional: quem está acompanhando as aulas pelo Steinbruch & Winterle, resolva os exercícios números 1 a 23: [png] e números 24 a 28: [png], da Seção A.46.1 - Problemas Propostos, do Apêndice (páginas 576 a 579).

* Opcional: quem está acompanhando as aulas pelo Anton, Estude as Seções 1.4, 1.5, e 1.6 do Capítulo 1 do Anton-Rorres, usando este guia de leitura: [guia 2] e resolva os exercícios 13 a 24, 39, 42, e os Exercícios verdadeiro/falso da Seção 1.2: [pdf], os exercícios 9 a 28, 41 a 43, e os Exercícios Verdadeiro/Falso da Seção 1.5: [pdf], e os exercícios 1 a 8, e os Exercícios verdadeiro/falso da Seção 1.6: [pdf].

8/4/2025 - Determinantes e inversas

- Termine de resolver os exercícios da Lista A.

* Opcional: quem está acompanhando as aulas pelo Steinbruch & Winterle, resolva os exercícios números 1 a 22: [pdf] da Seção A.29.1 - Problemas Propostos, do Apêndice (páginas 461 a 463) e números 1 a 26: [pdf], da Seção A.37.1 - Problemas Propostos, do Apêndice (páginas 498 a 501).

* Opcional: quem está acompanhando as aulas pelo Anton, Estude as Seções 2.1 e 2.2 do Capítulo 2 do Anton-Rorres, usando este guia de leitura: [guia 3] e resolva os exercícios 10 a 17 da Seção 2.2: [pdf].

* Opcional: quem está acompanhando as aulas pelo Colombo-Koiller, resolva os Exercícios Propostos 6.1 a 6.4, e 6.13, do Capítulo 6 (páginas 156 e 157).

24/4/2025 - Subespaços vetoriais, combinações lineares, subespaços gerados

- Comece a resolver os exercícios da Lista B.

* Opcional: quem está acompanhando as aulas pelo Steinbruch & Winterle,     resolva os exercícios números 8 a 25, 27, 30 a 33, 35 a 37, 39 a 41, 44, 45     da Seção 2.10 - Problemas Propostos, do Capítulo 2 (páginas 88 a 93).

* Opcional: quem está acompanhando as aulas pelo Anton & Rorres, estude a Seção 4.2 do Capítulo 4 do Anton-Rorres, usando este guia de leitura: [guia 4] e resolva os exercícios 1, 6, 7, 8, 11, 12, 15, 18, e 20, e os exercícios Verdadeiro/Falso itens (a-i) da Seção 4.2: [pdf].

Para se preparar para o próximo teste, faça também os seguintes exercícios:
(1) Dê 3 exemplos de soluções para o sistema de equações lineares {x+2y-z=0,w=0}.
(2) Para que valores de a,b,c o sistema {2x-y=a,-3x+2y=b,2x+4y=c} tem solução?
(3) Sabendo que a sequência de operações elementares L1<->L2, L2->L2-L1, L3->L3+L1, L2->3L2, L3->L3+7L2 transforma a matriz de coeficientes de um sistema homogêneo com 3 variáveis na matriz identidade, responda:
(a) qual é o determinante dessa matriz?
(b) o vetor (1,2,3) é uma solução desse sistema?
(c) qual é o sistema?
(4) Em cada item a seguir, dê 3 exemplos de sistemas de equações lineares, um que seja possível determinado, um que seja possível indeterminado, um que seja impossível:
(a) com mesmo número de equações e variáveis,
(b) com mais equações que variáveis,
(c) com menos equações que variáveis.

29/4/2025 - Teste 3

13/5/2025 - Dependência e independência linear

- Escreva o vetor (-1,1,2,3,4) como combinação linear dos vetores v1, v2, v3, v4, e v5 (Questão 2 da V1) de 3 maneiras diferentes.

- Escreva um dos vetores v1, v2, v3, v4, v5 (Questão 2 da V1) como combinação linear dos outros.

- Escreva um dos vetores v1, v2, v3, v4 (Questão 3 da V1) como combinação linear dos outros.

- Qual é o espaço gerado pelos vetores (-1,-2,0,0) e (0,0,-2,-1)?

- O vetor (1,2,2,1) pertence ao o espaço gerado pelos vetores (-1,-2,0,0) e (0,0,-2,-1)?

- Escreva o vetor (1,2,2,1) como combinação linear dos vetores (-1,-2,0,0) e (0,0,-2,-1) de 3 maneiras diferentes, se possível.

- Escreva um dos vetores (-1,-2,0,0) e (0,0,-2,-1) como combinação linear do outro, se possível.

- Qual é o espaço gerado pelos vetores v1, v2, v3, v4 (Questão 2 da V1)?

- Escreva o vetor (-1,1,2,3,4) como combinação linear dos vetores v1, v2, v3, v4, e v5 (Questão 2 da V1) de 3 maneiras diferentes, se possível.

- Escreva um dos vetores v1, v2, v3, v4 (Questão 2 da V1) como combinação linear dos outros, se possível.

15/5/2025 - Dependência e independência linear

- Estude a Seção 4.3 do Capítulo 4 do Anton-Rorres, usando este guia de leitura: [guia 5].

- Resolva os exercícios 1, 2, 3, 5 a 13, 15 a 19, e os Exercícios verdadeiro/falso itens (a,b,c,d,e) da Seção 4.3: [pdf].

20/5/2025 - Base e dimensão

- Estude as seções 4.4 e 4.5 do Capítulo 4 do Anton-Rorres, usando os guias de leitura: [guia 5] e [guia 6].

- Resolva os exercícios 1(a,b), 2, 3, 7, 8, 9, e os Exercícios verdadeiro/falso itens (a,b,c,d) da Seção 4.4: [pdf], e os exercícios 1 a 8, 12 a 16, e os Exercícios verdadeiro/falso itens (a,b,c,d,e,f,g) da Seção 4.5: [pdf].

* Opcional: quem está acompanhando as aulas pelo Steinbruch & Winterle, resolva os exercícios números 55 a 59, 62, 64, 66, 67, 71, 72, e 75: [pdf] da Seção 2.10 - Problemas Propostos (páginas 95 a 100).

3/6/2025 - Transformações lineares

- Mostre que as seguintes funções de R3 em R2 não são transformações lineares:
(a) f(x,y,z)=(y+z,x^2)
(b) g(x,y,z)=(2x-3,x+y-z)

- Estude a Seção 4.9 do Capítulo 4 do Anton-Rorres, usando este guia de leitura: [guia7].

- Resolva os exercícios 3 a 7, 14 a 22, 34, e os Exercícios verdadeiro/falso da Seção 4.9 itens (c,d,e,f,g): [pdf].

* Opcional: quem está acompanhando as aulas pelo Steinbruch & Winterle, resolva os exercícios números 1 a 26 da Seção 4.8 - Problemas Propostos (páginas 211 a 216).

5/6/2025 - Matriz de uma transformação linear

- Estude a Seção 4.9 do Capítulo 4 do Anton-Rorres, usando este guia de leitura: [guia7].

- Resolva os exercícios 1 e 2, 8 a 13, 29 e 30, e os Exercícios verdadeiro/falso da Seção 4.9 itens (a,b,h,i): [pdf].

* Opcional: quem está acompanhando as aulas pelo Steinbruch & Winterle, resolva os exercícios números 27 a 39, 46 a 51 da Seção 4.8 - Problemas Propostos (páginas 216 a 220, 222 a 223).

10/6/2025 - Operadores lineares

- Calcular o núcleo e a imagem do operador linear T de R3 que é a projeção sobre o plano xy, isto é, T(x,y,z)=(x,y,0).

12/6/2025 - Diagonalização

- Estude a Seção 4.6 do Capítulo 4 do Anton-Rorres, usando este guia de leitura: [guia8].

- Estude a Seção 5.1 do Capítulo 5 do Anton-Rorres, usando este guia de leitura:[guia9],

- Resolva os exercícios 1 a 12, e os Exercícios verdadeiro/falso da Seção 5.1: [pdf].

- Estude a Seção 5.2 do Capítulo 5 do Anton-Rorres, usando este guia de leitura: [guia9].

- Resolva os exercícios 1 a 27 da Seção 5.2: [pdf].

* Opcional: quem está acompanhando as aulas pelo Steinbruch & Winterle, resolva os exercícios números 1 a 3, 5 a 8, 11 da Seção 6.6 - Problemas Propostos (páginas 314 a 317).

✏ Lista A ✏ Lista B ✏ Lista C ✏ Lista D ✏ Lista E ✏ Lista F ✏

Resultados

Referências

• Textos

  • H. Anton e C. Rorres, Álgebra Linear com Aplicações, 10a edição, Bookman, Porto Alegre, 2012.
  • J. L. Boldrini et al., Álgebra Linear, Harbra, 1978.
  • Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear, Instituto de Matemática da UFRJ, Rio de Janeiro, 2012 [pdf].
  • C. A. Callioli, H. Domingues, e R. C. F. Costa, Álgebra Linear e Aplicações, Atual, 1993.
  • Jones Colombo e José Koiller, Álgebra Linear, GAN/IME-UFF, 2019 (texto em preparação) [drive] [github].
  • S. Lipschutz, M.L. Lipson, Álgebra Linear, quarta edição, Bookman, 2011 (Coleção Schaum).
  • D. Poole, Álgebra Linear, Pioneira Thomson Learning, 2004.

• Ferramentas online

  • Linear Algebra Toolkit.
  • Calculadora de Matriz.
  • Matrix Calculator.

• Vídeos

  • Playlist do Cabral & Goldfeld: Capítulos 1 a 7.
  • Playlist do Prof João Gondim (Universidade Federal Rural de Pernambuco): Álgebra Linear.
  • Playlist do Programa de Iniciação Científica do IMPA: Introdução à Álgebra Linear.
  • Playlist do canal 3Blue1Brown (em inglês, com legendas em português): A essência da Álgebra Linear.
  • Uma aplicação de Álgebra Linear a ferramentas de busca na internet: Isto é Matemática, 1a temporada, episódio 2.

Observações

1. Faremos duas verificações de aprendizagem: (V1) e (V2), e seis testes: (T1), (T2), (T3), (T4), (T5), e (T6). Cada teste terá o valor de 2,0 pontos e a soma (T) = (T1) + (T2) + (T3) + (T4) + (T5) + (T6) vai contar como uma das notas para compor a média. A média (M) será a média aritmética entre (V1), (V2), e (T): (M) = (V1)+(V2)+(T) / 3.
2. A vista de prova acontecerá sempre na aula seguinte à aplicação de cada verificação de aprendizagem.
3. A tolerância máxima de atraso em dias de verificação de aprendizagem é de 30 minutos. Por causa disso, não é permitido sair antes de decorridos 30 minutos do início da aula em dias de verificação de aprendizagem.
4. Não é permitido sair e retornar à sala em dias de verificação de aprendizagem (salvo em situação de urgência).
5. Não é permitido usar aparelhos eletrônicos (calculadora, celular, relógio, etc) durante a aplicação de uma verificação de aprendizagem.
6. A 2a Chamada está aberta a todes e obrigatoriamente substitui uma das notas anteriores, (V1) ou (V2) ou (T), mesmo que a nota da 2a Chamada seja menor que as outras. Após decorridos 30 minutos de prova, você poderá optar por não fazer a 2a Chamada (se optar por não fazer, não assinará a lista de presença).
7. Está aprovade quem tiver média maior ou igual a 6,0 e frequência igual ou superior a 75% (que corresponde a no máximo 7 faltas).
8. A VS - Verificação Suplementar seguirá as regras usuais da UFF: quem tiver frequência igual ou superior a 75% e média entre 4,0 e 5,9 pode fazer a VS, e estará aprovade se tiver nota maior ou igual a 6,0 na VS.
9. Só poderá fazer uma verificação de aprendizagem quem tiver frequência suficiente (número de faltas inferior a 25%, que corresponde a no máximo 7 faltas).
10. Qualquer dúvida, me escreva: renatafreitas@id.uff.br.