Calendário
Verificações de Aprendizagem
V1 - 04 de outubro (quarta)
V2 - 04 de dezembro (segunda)
2a Chamada - 11 de dezembro (segunda)
VS - 18 de dezembro (segunda)
Folgas
06 de setembro (quarta) -
apenas para a Turma C1 de LNF
15 de novembro (quarta) -
Proclamação da República
20 de novembro (segunda) -
Consciência Negra
Apresentação
Leitura: Introdução do nosso livro-texto (R. de Freitas e P. Viana, Introdução à Prática Matemática, IME-UFF, Niterói, 2023).
Videoaula 0: [youtube].
Exercícios (opcional): Lista Ômega - Apresento essa lista aqui para que você saiba o que tipo de exercícios eu espero que você possa resolver ao final do período e para que já possa começar a atividade mais importante para o aprendizado da Matemática (e para qualquer aprendizado, na verdade): ter dúvidas e fazer perguntas. (Texto: Alex Bellos, Alex no País dos Números, Cia das Letras, São Paulo, 2011, pp. 168-169).
Referência: R. de Freitas e P. Viana, Métodos de Prova, Minicurso do II Colóquio de Matemática da Região Sul, Universidade Estadual de Londrina, 2012.
Para se divertir e pensar na importância da notação matemática: [Romanos - Porta dos Fundos].
1 - Conjuntos: igualdade, pertinência, inclusão.
Leitura: Capítulo 1 - Conjuntos, do nosso livro-texto (R. de Freitas e P. Viana, Introdução à Prática Matemática, IME-UFF, Niterói, 2023). [videoaula]
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos no texto; responda também o Questionário 1.
(Opcional) Para quem está gostando e quer se aprofundar: Dodge, pp. 49-51 (mais exercícios).
2 - Métodos de prova: generalizações de implicações, generalizações de bi-implicações.
Leitura: Capítulo 2 - Provas, do nosso livro-texto (Renata de Freitas e Petrucio Viana, Introdução à Prática Matemática, IME-UFF, Niterói, 2023). [videoaula]
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos no texto; responda também o Questionário 2.
Exercícios extras:
(1) do Scheinerman [8]: Considere o enunciado (que não espero que você compreenda): "Se um matróide for gráfico, então é representável". Escreva a primeira e a última linha da prova desse enunciado (é comum usar M para representar matróides).
(2) também do Scheinermam [8]: [item 10], [item 11], [itens 14 a 20].
(3) Prove que, para todos os naturais a e b, se a divide b e b divide a, então a=b.Alguns exercícios resolvidos: (a) [vídeo] [pdf], (b) [vídeo] [pdf].
(Opcional) Para quem está gostando e quer se aprofundar:
- Renata de Freitas e Petrucio Viana, Métodos de Prova, Minicurso do II Colóquio de Matemática da Região Sul, Universidade Estadual de Londrina, 2012 (Capítulo 6 e Capítulo 7).
- Vídeos do minicurso Comentários sobre Métodos de Prova, X Semana da Matemática do IME-UFF, 2021 (Método de Suposição e Método de Generalização): [aula 1 - parte 5] [aula 2 - parte 1] [playlist - minicurso completo].
3 - Método de prova por indução.
Leitura: Capítulo 3 - Método de Prova por Indução, do nosso livro-texto (Renata de Freitas e Petrucio Viana, Introdução à Prática Matemática, IME-UFF, Niterói, 2023). [videoaula]
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos. Responda também o Questionário 3. (Dica: [1c - página 39 do livro-texto], sugestões de resolução: [1b - página 39 do livro-texto] [modelo 1j - página 39 do livro-texto] [3.2 - página 36 do livro-texto]).
Mais alguns exercícios: (1) Prove por indução que, para todo natural n, temos que: (a) 0!+1!+2!+...+n!≤(n+1)! (b) 1^{1/2}+2^{1/2}+...+n^{1/2}≤n^{1/2}n, onde a^{1/2} é a raiz quadrada de a. (c) existem únicos a e b naturais tais que n=a^2b, com a ímpar. (2) Considere a função F de Fibonacci (nos naturais), isto é: F(0)=1, F(1)=1, e F(a)=F(a-1)+F(a-2) quando a>1. Prove por indução que, para todo natural n, temos que: (a) F(n)+2F(n+1)=F(n+4)-F(n+2); (b) 1 é o único divisor comum de F(n) e F(n+1), isto é, mdc(F(n),F(n+1))=1; (c) F(n)≤(1,7)^n; (d) formule uma conjectura sobre F(0)+F(1)+...+F(n) e prove-a.
Alguns exercícios resolvidos: (a) [vídeo] [pdf], (b) [vídeo] [pdf], (c) [vídeo] [pdf].
(Opcional) De novo a teoria e mais exemplos:
- Vídeos do Programa de Iniciação Científica da OBMEP sobre o Método de Indução: [playlist]
- Considere que o que o professor escreve no quadro, nestas aulas, é o rascunho das provas. Fica para você o exercício de passar essas provas a limpo, usando o nosso modelo de redação de provas por indução.
- Três observações sobre a Aula 1 da playlist da OBMEP: (a) O professor escreve no quadro "A soma dos n primeiros números ímpares = n^2", usando o símbolo da igualdade ao invés de escrever "é igual a", o que eu sempre digo que deve ser evitado! No quadro, podemos escrever de maneira mais informal e resumida, misturando símbolos e palavras desta forma. No papel, devemos escrever "A soma dos n primeiros números ímpares é igual a n^2". (b) O que o professor chama de "tese", nós chamamos de "passo". O que ele chama de "passo indutivo" para nós é a hipótese junto com o passo. (c) O professor diz que vai provar uma generalização, uma igualdade que vale para _todos os números naturais_. Mas escreve apenas "1+3+5+...+(2n-1)=n^2" e não "para todo natural n, temos que 1+3+5+...+(2n-1)=n^2". Isso é muito comum em Matemática, muito comum mesmo. Dizemos "a soma dos n primeiros números ímpares é o quadrado de n" e qualquer pessoa entende que estamos afirmando que isso vale para todo número natural n. O "para todo" fica sempre implícito.
(Opcional) Para quem está gostando e quer se aprofundar:
- Abramo Hefez, Indução Matemática, Apostila 04 do Programa de Iniciação Científica da OBMEP 2006, Capítulo 1, Seção 1.1 (até a página 14, gabarito na página 83).
- R. de Freitas e P. Viana, Métodos de Prova, Minicurso do II Colóquio de Matemática da Região Sul, Universidade Estadual de Londrina, 2012 (Capítulo 8).
4 - Operações com conjuntos: interseção, união e complementação.
Leitura: Capítulo 4 - Operações com Conjuntos, do nosso livro-texto
(R. de Freitas e P. Viana,
Introdução à Prática Matemática,
IME-UFF, Niterói, 2023). [videoaula]
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos.
Responda também o Questionário 4.
-
(Opcional) Diagramas Numerados -
como usar diagramas para descobrir se uma igualdade ou inclusão entre conjuntos é verdadeira ou falsa e também para descobrir se uma inclusão ou igualdade é verdadeira, para todos os conjuntos que verificam condições expressas por
igualdades ou inclusões, ou não.
5 - Prova por casos e Redução ao absurdo.
Leitura: Capítulo 5 - Prova por Casos e Redução ao Absurdo, do nosso livro-texto
(R. de Freitas e P. Viana,
Introdução à Prática Matemática,
IME-UFF, Niterói, 2023). [videoaula]
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos.
Responda também o Questionário 5.
Mais alguns exercícios:
(1) Prove que todo natural é par ou ímpar.
(2) Prove que a equação x^2+1=0 não tem solução real.
(3) Prove que a soma de quais dois inteiros consecutivos não é divisível por 4.
(4) Apresente duas provas do enunciado a seguir, uma usando o método de redução ao absurdo, outra usando o método de prova por indução:
"Se Σ é um conjunto finito com 3 ou mais pontos no plano tal que para todos os pontos P, Q e R em Σ temos que P, Q e R são colineares,
então todos os pontos em Σ são colineares.".
Alguns exercícios resolvidos: (a)
[vídeo]
[pdf]
(b)
[vídeo]
[pdf]
(no vídeo, a resolução do item 2 inicia em 05:59, do 3 em 08:35, do 4 em 12:21).
(Opcional) Para quem está gostando e quer se aprofundar:
- R. de Freitas e P. Viana, Métodos de Prova, Minicurso do II Colóquio de Matemática da Região Sul, Universidade Estadual de Londrina, 2012
(Capítulo 10 - páginas 80 a 83, Capítulo 12 - páginas 88 a 90).
- Vídeo do minicurso Comentários sobre Métodos de Prova, X Semana da Matemática do IME-UFF, 2021 (Método de Redução ao Absurdo):
[aula 2 - parte 2] [playlist - minicurso completo].
(Opcional) Para divertir e pensar:
- Falácia do "Nada contra, mas...", da Ação Coletiva Lógica Viva:
[vídeo].
6 - Conjunto das Partes e Antinomia de Russell.
Leitura: Capítulo 6 - Conjunto das Partes e Antinomia de Russell, do nosso livro-texto
(R. de Freitas e P. Viana,
Introdução à Prática Matemática,
IME-UFF, Niterói, 2023). [videoaula]
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos.
Responda também o Questionário 6.
-
(Opcional) Para conhecer um novo canal no Youtube:
- Série Isto É Matemática, da Sociedade Portuguesa de Matemática, Temporada 1, Episódio 6 - Um Novo Paradoxo:
[vídeo].
7 - Par ordenado. Produto cartesiano. Relações.
Leitura: Capítulo 7 - Relações, do nosso livro-texto
(R. de Freitas e P. Viana,
Introdução à Prática Matemática,
IME-UFF, Niterói, 2023). [videoaula]
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos.
Responda também o Questionário 7.
Alguns exercícios resolvidos:
[vídeo].
Diagramas para relações - como usar diagramas para representar relações e calcular a inversa de uma relação e a composição de duas relações:
[slides].
8 - Relação de equivalência. Partição.
Leitura: Capítulo 8 - Relações de Equivalência, do nosso livro-texto
(R. de Freitas e P. Viana,
Introdução à Prática Matemática,
IME-UFF, Niterói, 2023). [videoaula]
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos.
(Dica para 7b - página 97 do livro-texto:
[vídeo]
[pdf]).
Responda também o Questionário 8.
Diagramas para relações - como usar diagramas para representar relações e analisar as propriedades de reflexividade, simetria, antissimetria e transitividade, e representar relações de equivalência (até Exemplo 9):
[vídeo]
[slides].
Alguns exercícios resolvidos:
[pdf],
(a)
[vídeo]
(b)
[vídeo].
11 - Funções.
Leitura: Capítulo 11 - Funções, do nosso livro-texto
(R. de Freitas e P. Viana,
Introdução à Prática Matemática,
IME-UFF, Niterói, 2023). [videoaula]
Diagramas Sagitais - como usar diagramas para representar relações e analisar as propriedades de funcionalidade, totalidade, injetividade e sobrejetividade.
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos.
Responda também o Questionário 11.
Alguns exercícios resolvidos:
(a)
[vídeo]
[pdf],
(b)
[vídeo]
[pdf].
12 - Cardinalidade.
Leitura: Capítulo 12 - Hotel de Hilbert, do nosso livro-texto
(R. de Freitas e P. Viana,
Introdução à Prática Matemática,
IME-UFF, Niterói, 2023). [videoaula]
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos.
Responda também o Questionário 12.
(Opcional) Para quem quiser ler mais sobre cardinalidade:
- Alex Bellos, Alex no País dos Números - Uma Viagem ao Mundo Maravilhoso da Matemática, Companhia das Letras, São Paulo, 2011,
pp. 424-436 (sobre o Hotel de Hilbert).
- Paul Cohen, o matemático que criou 'novos mundos' ao resolver um problema - BBC News Brasil.
13 - Teorema de Cantor.
Leitura: Capítulo 13 - Teorema de Cantor, do nosso livro-texto
(R. de Freitas e P. Viana,
Introdução à Prática Matemática,
IME-UFF, Niterói, 2023).
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos.
Referências
- [1] Livro-texto - Renata de Freitas e Petrucio Viana, Introdução à Prática Matemática, IME-UFF, Niterói, 2023.
- [2] Alex Bellos, Alex no País dos Números, Cia das Letras, São Paulo, 2011, pp. 168-169.
- [3] Abramo Hefez, Indução Matemática, Apostila 04 do Programa de Iniciação Científica da OBMEP 2006.
- [4] Renata de Freitas e Petrucio Viana, Métodos de Prova,
Minicurso do II Colóquio de Matemática da Região Sul, Universidade Estadual de Londrina, 2012, disponível em http://www.uel.br/eventos/colmatsul/ (MC8, na aba Minicursos).
- [5] Vídeos do minicurso Comentários sobre Métodos de Prova, X Semana da Matemática do IME-UFF, 2021:
[playlist].
- [6] John Stewart, Cálculo, Vol. 1, 4a ed., Cengage Learning, São Paulo, 2017.
- [7] Miguel Jorge, Ralph C. Teixeira, Thales Couto Filho, Felipe F. Silva, Matemática para o Ensino Médio, Vol. 1, 1a ed., Editora do Brasil / FGV, São Paulo, 2009.
- [8] Edward Scheinerman, Matemática Discreta, Thomson, São Paulo, 2011.
- [9]Texto sobre Conjuntos (Clayton W. Dodge, Sets, Logic and Numbers, PWS, Boston, 1969, pp. 45-61.) - versão adaptada (em português)
Exercícios
28/08/2023 - Leia a
página 168 do livro
Alex no País dos Números, (Alex Bellos, Cia das Letras, São Paulo, 2011) e faça o seguinte:
-
Dê um exemplo de número natural.
-
Com base na explicação do texto (1o. parágrafo),
imagine uma pessoa que hipoteticamente não acha que o seu exemplo é um número natural
e convença essa pessoa de que o seu exemplo é, sim, um número natural.
-
Dê um exemplo de algo que não é um número natural e explique por que seu exemplo não é um número natural.
-
Dê exemplos de números inteiros,
juntamente com explicações de por que seus exemplos são, de fato, números inteiros,
com base no texto (2o. parágrafo).
-
Dê exemplos de fração, numerador, denominador, menor divisor comum, e máximo divisor comum (4o. parágrafo).
30/08/2023 - Resolva os itens 1, 2, e 3 dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 1 do nosso
livro-texto,
páginas 20 e 21.
04/09/2023 - Resolva os itens 4 a 7 dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 1 do nosso
livro-texto,
páginas 21 e 22.
11/09/2023 - Resolva o item 1 dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 2 do nosso
livro-texto,
página 31.
13/09/2023 - Resolva os itens 2 e 3 dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 2 do nosso
livro-texto,
página 32.
18/09/2023 - Prove que, para todo natural n, temos que 3n+3n2 é múltiplo de 6. Resolva o Item 1 dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 3 do nosso
livro-texto,
página 39.
20/09/2023 - Resolva os itens 1(a,c,e), 5(a,b,c,d,e), e 6 dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 4 do nosso
livro-texto,
páginas 52 e 53.
25/09/2023 - Resolva os itens 1(b,d,f,g,h,i), 2, 3, 4, e 5(f) dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 4 do nosso
livro-texto,
páginas 52 e 53.
Resolva também os itens 1, 2, e 3 dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 5 do nosso
livro-texto,
páginas 58 e 59.
27/09/2023 - Resolva os itens 1 a 5 dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 6 do nosso
livro-texto,
página 64.
04/10/2023 - V1 (Primeira Verificação da Aprendizagem):
estude o gabarito e prepare-se para resolver exercícios semelhantes na próxima aula,
quando faremos a vista de prova.
[gabarito da V1]
11/10/2023 -
Resolva os itens 1, 2, 3, e 4(a) dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 7 do nosso
livro-texto,
páginas 82 e 83.
Resolva também os itens 1, 2, 3, 5(a), e 9(a,b,c,d,e) dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 8 do nosso
livro-texto,
páginas 94 e 95.
23/10/2023 -
Resolva os itens 4(b,c), 5, 6, 7, e 8 dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 7 do nosso
livro-texto,
páginas 83 e 84.
Resolva o item 9(f,g,h) dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 8 do nosso
livro-texto,
página 95.
"Transforme" em teorema a seguinte conjectura: para toda relação R, temos que R é simétrica se, e somente se, R-1 = R.
25/10/2023 -
Para cada relação R a seguir, diga se R é reflexiva, simétrica, ou transitiva, e determine o domínio, a imagem, e a inversa de R.
-
R é a relação de "ser maior que", nos naturais;
-
R é a relação de "ser maior ou igual a", nos naturais;
-
R é a relação de "ser primo com", nos naturais;
-
R é a relação de "ser congruente módulo n", nos naturais;
-
R é a relação de pertinência, nos conjuntos;
-
R é a relação de inclusão, nos conjuntos;
-
R é a relação de "ser disjunto de", nos conjuntos;
-
R é a relação de "ser paralela a", nos retas (geometria plana);
-
R é a relação de "ser concorrente a", nos retas (geometria plana);
-
Prove que a relação de divisibilidade, nos naturais, é transitiva.
-
Prove que, para toda relação R de A em B, temos que (R-1)c=(Rc)-1.
-
Prove que, para toda endorelação R, temos que R é reflexiva se, e somente se, Id está contida em R.
-
Verifique a seguinte conjectura: para toda endorelação R, temos que RoR = R se, e somente se, R é transitiva.
30/10/2023 -
Resolva os itens 5(b,c,d), 6, 7, e 8 dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 8 do nosso
livro-texto,
página 95.
01/11/2023 -
Resolva os itens 1 a 15 dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 11 do nosso
livro-texto,
páginas 115 a 120.
08/11/2023 -
Paralização de Docentes da UFF.
Leia o Capítulo 12 do nosso
livro-texto
(se quiser, assista também a [videoaula])
e anote suas questões para discutirmos em sala.
13/11/2023 -
Resolva os itens 1 a 4 dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 12 do nosso
livro-texto,
página 141.
Pense na questão que o Gustavo colocou em sala, hoje:
se um conjunto A é infinito porque existe um subconjunto próprio de A e
uma bijeção entre A e B, então temos que B também é infinito?
22/11/2023 -
Resolva os itens 5 e 6 dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 12 do nosso
livro-texto,
página 142.
Resultados
Observações
-
Faremos duas verificações de aprendizagem: (V1) e (V2). A média (M) será a média aritmética: (M) = (V1)+(V2) / 2.
-
A vista de prova acontecerá sempre na aula seguinte à aplicação de cada verificação de aprendizagem.
-
A tolerância máxima de atraso em dias de verificação de aprendizagem é de 30 minutos.
Por causa disso, não é permitido sair antes de decorridos 30 minutos do início da aula em dias de verificação de aprendizagem.
-
Não é permitido sair e retornar à sala em dias de verificação de aprendizagem (salvo em situação de urgência).
-
Não é permitido usar aparelhos eletrônicos (calculadora, celular, relógio, etc) durante a aplicação de uma verificação de aprendizagem.
-
A 2a Chamada está aberta a todes e obrigatoriamente substitui uma das notas anteriores, (V1) e (V2), mesmo que a nota da 2a Chamada seja menor que as outras. Após decorridos 30 minutos de prova, você poderá optar por não fazer a 2a Chamada (se optar por não fazer, não assinará a lista de presença).
-
Está aprovade quem tiver média maior ou igual a 6,0 e frequência igual ou superior a 75% (que corresponde a no máximo 7 faltas).
-
A VS - Verificação Suplementar seguirá as regras usuais da UFF: quem tiver frequência igual ou superior a 75% e média entre 4,0 e 5,9 pode fazer a VS, e estará aprovade se tiver nota maior ou igual a 6,0 na VS.
-
Só poderá fazer uma verificação de aprendizagem quem tiver frequência suficiente (número de faltas inferior a 25%, que corresponde a no máximo 7 faltas).
-
Qualquer dúvida, me escreva: renatafreitas@id.uff.br.
Vídeos e textos elaborados a partir de slides desenvolvidos para a disciplina Matemática Discreta em conjunto com o Prof. Petrucio Viana (GAN-IME-UFF).
Leitura: Capítulo 4 - Operações com Conjuntos, do nosso livro-texto (R. de Freitas e P. Viana, Introdução à Prática Matemática, IME-UFF, Niterói, 2023). [videoaula]
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos. Responda também o Questionário 4.
(Opcional) Diagramas Numerados - como usar diagramas para descobrir se uma igualdade ou inclusão entre conjuntos é verdadeira ou falsa e também para descobrir se uma inclusão ou igualdade é verdadeira, para todos os conjuntos que verificam condições expressas por igualdades ou inclusões, ou não.
5 - Prova por casos e Redução ao absurdo.
Leitura: Capítulo 5 - Prova por Casos e Redução ao Absurdo, do nosso livro-texto (R. de Freitas e P. Viana, Introdução à Prática Matemática, IME-UFF, Niterói, 2023). [videoaula]
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos.
Responda também o Questionário 5.Mais alguns exercícios: (1) Prove que todo natural é par ou ímpar. (2) Prove que a equação x^2+1=0 não tem solução real. (3) Prove que a soma de quais dois inteiros consecutivos não é divisível por 4. (4) Apresente duas provas do enunciado a seguir, uma usando o método de redução ao absurdo, outra usando o método de prova por indução: "Se Σ é um conjunto finito com 3 ou mais pontos no plano tal que para todos os pontos P, Q e R em Σ temos que P, Q e R são colineares, então todos os pontos em Σ são colineares.".
Alguns exercícios resolvidos: (a) [vídeo] [pdf] (b) [vídeo] [pdf] (no vídeo, a resolução do item 2 inicia em 05:59, do 3 em 08:35, do 4 em 12:21).
(Opcional) Para quem está gostando e quer se aprofundar:
- R. de Freitas e P. Viana, Métodos de Prova, Minicurso do II Colóquio de Matemática da Região Sul, Universidade Estadual de Londrina, 2012 (Capítulo 10 - páginas 80 a 83, Capítulo 12 - páginas 88 a 90).
- Vídeo do minicurso Comentários sobre Métodos de Prova, X Semana da Matemática do IME-UFF, 2021 (Método de Redução ao Absurdo): [aula 2 - parte 2] [playlist - minicurso completo].
(Opcional) Para divertir e pensar:
- Falácia do "Nada contra, mas...", da Ação Coletiva Lógica Viva: [vídeo].
6 - Conjunto das Partes e Antinomia de Russell.
Leitura: Capítulo 6 - Conjunto das Partes e Antinomia de Russell, do nosso livro-texto (R. de Freitas e P. Viana, Introdução à Prática Matemática, IME-UFF, Niterói, 2023). [videoaula]
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos. Responda também o Questionário 6.
(Opcional) Para conhecer um novo canal no Youtube:
- Série Isto É Matemática, da Sociedade Portuguesa de Matemática, Temporada 1, Episódio 6 - Um Novo Paradoxo: [vídeo].
7 - Par ordenado. Produto cartesiano. Relações.
Leitura: Capítulo 7 - Relações, do nosso livro-texto (R. de Freitas e P. Viana, Introdução à Prática Matemática, IME-UFF, Niterói, 2023). [videoaula]
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos. Responda também o Questionário 7.
Alguns exercícios resolvidos: [vídeo].
Diagramas para relações - como usar diagramas para representar relações e calcular a inversa de uma relação e a composição de duas relações: [slides].
8 - Relação de equivalência. Partição.
Leitura: Capítulo 8 - Relações de Equivalência, do nosso livro-texto (R. de Freitas e P. Viana, Introdução à Prática Matemática, IME-UFF, Niterói, 2023). [videoaula]
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos. (Dica para 7b - página 97 do livro-texto: [vídeo] [pdf]). Responda também o Questionário 8.
Diagramas para relações - como usar diagramas para representar relações e analisar as propriedades de reflexividade, simetria, antissimetria e transitividade, e representar relações de equivalência (até Exemplo 9): [vídeo] [slides].
Alguns exercícios resolvidos: [pdf], (a) [vídeo] (b) [vídeo].
11 - Funções.
Leitura: Capítulo 11 - Funções, do nosso livro-texto (R. de Freitas e P. Viana, Introdução à Prática Matemática, IME-UFF, Niterói, 2023). [videoaula]
Diagramas Sagitais - como usar diagramas para representar relações e analisar as propriedades de funcionalidade, totalidade, injetividade e sobrejetividade.
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos. Responda também o Questionário 11.
Alguns exercícios resolvidos: (a) [vídeo] [pdf], (b) [vídeo] [pdf].
12 - Cardinalidade.
Leitura: Capítulo 12 - Hotel de Hilbert, do nosso livro-texto (R. de Freitas e P. Viana, Introdução à Prática Matemática, IME-UFF, Niterói, 2023). [videoaula]
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos. Responda também o Questionário 12.
(Opcional) Para quem quiser ler mais sobre cardinalidade:
- Alex Bellos, Alex no País dos Números - Uma Viagem ao Mundo Maravilhoso da Matemática, Companhia das Letras, São Paulo, 2011, pp. 424-436 (sobre o Hotel de Hilbert).
- Paul Cohen, o matemático que criou 'novos mundos' ao resolver um problema - BBC News Brasil.
13 - Teorema de Cantor.
Leitura: Capítulo 13 - Teorema de Cantor, do nosso livro-texto (R. de Freitas e P. Viana, Introdução à Prática Matemática, IME-UFF, Niterói, 2023).
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos.
Referências
- [1] Livro-texto - Renata de Freitas e Petrucio Viana, Introdução à Prática Matemática, IME-UFF, Niterói, 2023.
- [2] Alex Bellos, Alex no País dos Números, Cia das Letras, São Paulo, 2011, pp. 168-169.
- [3] Abramo Hefez, Indução Matemática, Apostila 04 do Programa de Iniciação Científica da OBMEP 2006.
- [4] Renata de Freitas e Petrucio Viana, Métodos de Prova, Minicurso do II Colóquio de Matemática da Região Sul, Universidade Estadual de Londrina, 2012, disponível em http://www.uel.br/eventos/colmatsul/ (MC8, na aba Minicursos).
- [5] Vídeos do minicurso Comentários sobre Métodos de Prova, X Semana da Matemática do IME-UFF, 2021: [playlist].
- [6] John Stewart, Cálculo, Vol. 1, 4a ed., Cengage Learning, São Paulo, 2017.
- [7] Miguel Jorge, Ralph C. Teixeira, Thales Couto Filho, Felipe F. Silva, Matemática para o Ensino Médio, Vol. 1, 1a ed., Editora do Brasil / FGV, São Paulo, 2009.
- [8] Edward Scheinerman, Matemática Discreta, Thomson, São Paulo, 2011.
- [9]Texto sobre Conjuntos (Clayton W. Dodge, Sets, Logic and Numbers, PWS, Boston, 1969, pp. 45-61.) - versão adaptada (em português)
Exercícios
28/08/2023 - Leia a página 168 do livro Alex no País dos Números, (Alex Bellos, Cia das Letras, São Paulo, 2011) e faça o seguinte:
- Dê um exemplo de número natural.
- Com base na explicação do texto (1o. parágrafo), imagine uma pessoa que hipoteticamente não acha que o seu exemplo é um número natural e convença essa pessoa de que o seu exemplo é, sim, um número natural.
- Dê um exemplo de algo que não é um número natural e explique por que seu exemplo não é um número natural.
- Dê exemplos de números inteiros, juntamente com explicações de por que seus exemplos são, de fato, números inteiros, com base no texto (2o. parágrafo).
- Dê exemplos de fração, numerador, denominador, menor divisor comum, e máximo divisor comum (4o. parágrafo).
30/08/2023 - Resolva os itens 1, 2, e 3 dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 1 do nosso livro-texto, páginas 20 e 21.
04/09/2023 - Resolva os itens 4 a 7 dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 1 do nosso livro-texto, páginas 21 e 22.
11/09/2023 - Resolva o item 1 dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 2 do nosso livro-texto, página 31.
13/09/2023 - Resolva os itens 2 e 3 dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 2 do nosso livro-texto, página 32.
18/09/2023 - Prove que, para todo natural n, temos que 3n+3n2 é múltiplo de 6. Resolva o Item 1 dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 3 do nosso livro-texto, página 39.
20/09/2023 - Resolva os itens 1(a,c,e), 5(a,b,c,d,e), e 6 dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 4 do nosso livro-texto, páginas 52 e 53.
25/09/2023 - Resolva os itens 1(b,d,f,g,h,i), 2, 3, 4, e 5(f) dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 4 do nosso livro-texto, páginas 52 e 53. Resolva também os itens 1, 2, e 3 dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 5 do nosso livro-texto, páginas 58 e 59.
27/09/2023 - Resolva os itens 1 a 5 dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 6 do nosso livro-texto, página 64.
04/10/2023 - V1 (Primeira Verificação da Aprendizagem): estude o gabarito e prepare-se para resolver exercícios semelhantes na próxima aula, quando faremos a vista de prova. [gabarito da V1]
11/10/2023 - Resolva os itens 1, 2, 3, e 4(a) dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 7 do nosso livro-texto, páginas 82 e 83. Resolva também os itens 1, 2, 3, 5(a), e 9(a,b,c,d,e) dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 8 do nosso livro-texto, páginas 94 e 95.
23/10/2023 - Resolva os itens 4(b,c), 5, 6, 7, e 8 dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 7 do nosso livro-texto, páginas 83 e 84. Resolva o item 9(f,g,h) dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 8 do nosso livro-texto, página 95. "Transforme" em teorema a seguinte conjectura: para toda relação R, temos que R é simétrica se, e somente se, R-1 = R.
25/10/2023 - Para cada relação R a seguir, diga se R é reflexiva, simétrica, ou transitiva, e determine o domínio, a imagem, e a inversa de R.
- R é a relação de "ser maior que", nos naturais;
- R é a relação de "ser maior ou igual a", nos naturais;
- R é a relação de "ser primo com", nos naturais;
- R é a relação de "ser congruente módulo n", nos naturais;
- R é a relação de pertinência, nos conjuntos;
- R é a relação de inclusão, nos conjuntos;
- R é a relação de "ser disjunto de", nos conjuntos;
- R é a relação de "ser paralela a", nos retas (geometria plana);
- R é a relação de "ser concorrente a", nos retas (geometria plana);
- Prove que a relação de divisibilidade, nos naturais, é transitiva.
- Prove que, para toda relação R de A em B, temos que (R-1)c=(Rc)-1.
- Prove que, para toda endorelação R, temos que R é reflexiva se, e somente se, Id está contida em R.
- Verifique a seguinte conjectura: para toda endorelação R, temos que RoR = R se, e somente se, R é transitiva.
30/10/2023 - Resolva os itens 5(b,c,d), 6, 7, e 8 dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 8 do nosso livro-texto, página 95.
01/11/2023 - Resolva os itens 1 a 15 dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 11 do nosso livro-texto, páginas 115 a 120.
08/11/2023 - Paralização de Docentes da UFF. Leia o Capítulo 12 do nosso livro-texto (se quiser, assista também a [videoaula]) e anote suas questões para discutirmos em sala.
13/11/2023 - Resolva os itens 1 a 4 dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 12 do nosso livro-texto, página 141. Pense na questão que o Gustavo colocou em sala, hoje: se um conjunto A é infinito porque existe um subconjunto próprio de A e uma bijeção entre A e B, então temos que B também é infinito?
22/11/2023 - Resolva os itens 5 e 6 dos Exercícios de fixação e revisão do Capítulo 12 do nosso livro-texto, página 142.
Resultados
Observações
- Faremos duas verificações de aprendizagem: (V1) e (V2). A média (M) será a média aritmética: (M) = (V1)+(V2) / 2.
- A vista de prova acontecerá sempre na aula seguinte à aplicação de cada verificação de aprendizagem.
- A tolerância máxima de atraso em dias de verificação de aprendizagem é de 30 minutos. Por causa disso, não é permitido sair antes de decorridos 30 minutos do início da aula em dias de verificação de aprendizagem.
- Não é permitido sair e retornar à sala em dias de verificação de aprendizagem (salvo em situação de urgência).
- Não é permitido usar aparelhos eletrônicos (calculadora, celular, relógio, etc) durante a aplicação de uma verificação de aprendizagem.
- A 2a Chamada está aberta a todes e obrigatoriamente substitui uma das notas anteriores, (V1) e (V2), mesmo que a nota da 2a Chamada seja menor que as outras. Após decorridos 30 minutos de prova, você poderá optar por não fazer a 2a Chamada (se optar por não fazer, não assinará a lista de presença).
- Está aprovade quem tiver média maior ou igual a 6,0 e frequência igual ou superior a 75% (que corresponde a no máximo 7 faltas).
- A VS - Verificação Suplementar seguirá as regras usuais da UFF: quem tiver frequência igual ou superior a 75% e média entre 4,0 e 5,9 pode fazer a VS, e estará aprovade se tiver nota maior ou igual a 6,0 na VS.
- Só poderá fazer uma verificação de aprendizagem quem tiver frequência suficiente (número de faltas inferior a 25%, que corresponde a no máximo 7 faltas).
- Qualquer dúvida, me escreva: renatafreitas@id.uff.br.
Vídeos e textos elaborados a partir de slides desenvolvidos para a disciplina Matemática Discreta em conjunto com o Prof. Petrucio Viana (GAN-IME-UFF).
A propósito dos modelos de prova apresentados no livro, vejam esse trecho de um texto que o Professor Edsger W. Dijkstra escreveu para sua turma (a versão em português é minha):
"(...) Just as a professor at a conservatory represents a musical style (to the extent that it is often possible to identify the master by listening to his pupils), I represent a mathematical style. It is up to you to decide later to what degree to adopt and to improve it. One thing, however, you are not allowed to do, viz. to reject it offhand for the sole reason that it does not reflect the way of doing mathematics you are used to. Of course it doesn't! That is precisely why you are here. This whole course is no more and no less than an invitation to take the experiment of changing some of your reasoning habits and adopting some new modes of expression. As you take the experiment you will notice that it is not acquiring the new habits that presents the greatest problem, for that is getting rid of the old ones. Perfecting oneself is as much unlearning as it is learning. (...)"
Assim como um professor em um conservatório representa um estilo musical (a ponto de frequentemente ser possível identificar quem ensinou ao ouvir tocar o/a aprendiz), eu represento um estilo de [fazer] matemática. Cabe a você decidir, mais tarde, o quanto vai adotar meu estilo e aprimorá-lo. Uma coisa, no entanto, você não pode fazer, que é rejeitar meu estilo de antemão, pela única razão de que ele não reflete a maneira como você está acostumado a fazer matemática. É claro que não reflete! Esta é precisamente a razão pela qual você está aqui [na minha turma]. Este curso é nada mais nada menos que um convite para experimentar uma mudança de hábitos de raciocínio e adotar algumas novas maneiras de se expressar. Conforme você for experimentando, você vai perceber que não é a aquisição de novos hábitos que representa o maior problema, mas, sim, se livrar dos hábitos antigos. Aperfeiçoar-se é muito mais desaprender do que aprender.
[PPA - Perguntas de períodos anteriores]
Errata
A Profa Marcia Groszek provou resultados *relacionados* com a equiconsistência dos sistemas de Zermelo e von Neuwman; provas de que esses sistemas são equiconsistentes são anteriores, dos anos 50.