Apresentação
Videoaula 0: [youtube].
Leitura: Introdução do nosso livro-texto (R. de Freitas e P. Viana, Introdução à Prática Matemática, IME-UFF, Niterói, 2024).
Exercícios (opcional): Lista Ômega. (Texto: Alex Bellos, Alex no País dos Números, Cia das Letras, São Paulo, 2011, pp. 168-169).
Referência: R. de Freitas e P. Viana, Métodos de Prova, Minicurso do II Colóquio de Matemática da Região Sul, Universidade Estadual de Londrina, 2012.
Para se divertir e pensar na importância da notação matemática: [Romanos - Porta dos Fundos].
1 - Conjuntos: igualdade, pertinência, inclusão.
Videoaula 1: [youtube].
Leitura: Capítulo 1 - Conjuntos, do nosso livro-texto (R. de Freitas e P. Viana, Introdução à Prática Matemática, IME-UFF, Niterói, 2024) - Errata.
Questionário 1 - responda após assistir à videoaula e estudar o material indicado para leitura.
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos.
(Opcional) Para quem está gostando e quer se aprofundar: Dodge, pp. 49-51 (mais exercícios).
2 - Métodos de prova: generalizações de implicações, generalizações de bi-implicações.
Videoaula 2: [youtube].
Leitura: Capítulo 2 - Provas, do nosso livro-texto (R. de Freitas e P. Viana, Introdução à Prática Matemática, IME-UFF, Niterói, 2024).
Questionário 2 - responda após assistir à videoaula e estudar o material indicado para leitura.
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos.
Um exercício extra, do Scheinerman: (1) Considere o enunciado (que não espero que você compreenda): "Se um matróide for gráfico, então é representável". Escreva a primeira e a última linha da prova desse enunciado (é comum usar M para representar matróides). (2) Mais alguns, também do Scheinermam: [item 10], [item 11], [itens 14 a 20]. (3) Prove que, para todos os naturais a e b, se a divide b e b divide a, então a=b.
Exercícios Resolvidos 2: (a) [vídeo] [pdf], (b) [vídeo] [pdf].
(Opcional) Para quem está gostando e quer se aprofundar:
- R. de Freitas e P. Viana, Métodos de Prova, Minicurso do II Colóquio de Matemática da Região Sul, Universidade Estadual de Londrina, 2012 (Capítulo 6 e Capítulo 7).
- Vídeos do minicurso Comentários sobre Métodos de Prova, X Semana da Matemática do IME-UFF, 2021 (Método de Suposição e Método de Generalização): [aula 1 - parte 5] [aula 2 - parte 1] [playlist - minicurso completo].
3 - Método de prova por indução.
Videoaula 3: [youtube].
Leitura: Capítulo 3 - Método de Prova por Indução, do nosso livro-texto (R. de Freitas e P. Viana, Introdução à Prática Matemática, IME-UFF, Niterói, 2024).
Questionário 3 - responda após assistir à videoaula e estudar o material indicado para leitura.
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos. (Dica: [1c - página 39 do livro-texto], sugestões de resolução: [1b - página 39 do livro-texto] [modelo 1j - página 39 do livro-texto] [3.2 - página 36 do livro-texto]).
Mais alguns exercícios: (1) Prove por indução que, para todo natural n, temos que: (a) 0!+1!+2!+...+n!≤(n+1)! (b) 1^{1/2}+2^{1/2}+...+n^{1/2}≤n^{1/2}n, onde a^{1/2} é a raiz quadrada de a. (c) existem únicos a e b naturais tais que n=a^2b, com a ímpar. (2) Considere a função F de Fibonacci (nos naturais), isto é: F(0)=1, F(1)=1, e F(a)=F(a-1)+F(a-2) quando a>1. Prove por indução que, para todo natural n, temos que: (a) F(n)+2F(n+1)=F(n+4)-F(n+2); (b) 1 é o único divisor comum de F(n) e F(n+1), isto é, mdc(F(n),F(n+1))=1; (c) F(n)≤(1,7)^n; (d) formule uma conjectura sobre F(0)+F(1)+...+F(n) e prove-a.
Exercícios Resolvidos 3: (a) [vídeo] [pdf], (b) [vídeo] [pdf], (c) [vídeo] [pdf].
(Opcional) De novo a teoria e mais exemplos:
- Vídeos do Programa de Iniciação Científica da OBMEP sobre o Método de Indução: [playlist]
- Considere que o que o professor escreve no quadro, nestas aulas, é o rascunho das provas. Fica para você o exercício de passar essas provas a limpo, usando o nosso modelo de redação de provas por indução.
- Três observações sobre a Aula 1 da playlist da OBMEP: (a) O professor escreve no quadro "A soma dos n primeiros números ímpares = n^2", usando o símbolo da igualdade ao invés de escrever "é igual a", o que eu sempre digo que deve ser evitado! No quadro, podemos escrever de maneira mais informal e resumida, misturando símbolos e palavras desta forma. No papel, devemos escrever "A soma dos n primeiros números ímpares é igual a n^2". (b) O que o professor chama de "tese", nós chamamos de "passo". O que ele chama de "passo indutivo" para nós é a hipótese junto com o passo. (c) O professor diz que vai provar uma generalização, uma igualdade que vale para _todos os números naturais_. Mas escreve apenas "1+3+5+...+(2n-1)=n^2" e não "para todo natural n, temos que 1+3+5+...+(2n-1)=n^2". Isso é muito comum em Matemática, muito comum mesmo. Dizemos "a soma dos n primeiros números ímpares é o quadrado de n" e qualquer pessoa entende que estamos afirmando que isso vale para todo número natural n. O "para todo" fica sempre implícito.
(Opcional) Para quem está gostando e quer se aprofundar:
- Abramo Hefez, Indução Matemática, Apostila 04 do Programa de Iniciação Científica da OBMEP 2006, Capítulo 1, Seção 1.1 (até a página 14, gabarito na página 83).
- R. de Freitas e P. Viana, Métodos de Prova, Minicurso do II Colóquio de Matemática da Região Sul, Universidade Estadual de Londrina, 2012 (Capítulo 8).
(Opcional) Exercícios de provas por indução em Análise (ou em Cálculo): [pdf].
4 - Operações com conjuntos: interseção, união e complementação.
Aula 4: [vídeo].
Leitura: Capítulo 4 - Operações com Conjuntos, do nosso livro-texto
(R. de Freitas e P. Viana,
Introdução à Prática Matemática,
IME-UFF, Niterói, 2024).
Questionário 4 - responda após assistir à videoaula e estudar o material indicado para leitura.
Diagramas Numerados -
como usar diagramas para descobrir se uma igualdade ou inclusão entre conjuntos é verdadeira ou falsa e também para descobrir se uma inclusão ou igualdade é verdadeira, para todos os conjuntos que verificam condições expressas por
igualdades ou inclusões, ou não.
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos.
-
5 - Prova por casos e Redução ao absurdo.
Videoaula 5:
[youtube].
Leitura: Capítulo 5 - Prova por Casos e Redução ao Absurdo, do nosso livro-texto
(R. de Freitas e P. Viana,
Introdução à Prática Matemática,
IME-UFF, Niterói, 2024).
Questionário 5 - responda após assistir à videoaula e estudar o material indicado para leitura.
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos.
Mais alguns exercícios:
(1) Prove que todo natural é par ou ímpar.
(2) Prove que a equação x^2+1=0 não tem solução real.
(3) Prove que a soma de quais dois inteiros consecutivos não é divisível por 4.
(4) Apresente duas provas do enunciado a seguir, uma usando o método de redução ao absurdo, outra usando o método de prova por indução:
"Se Σ é um conjunto finito com 3 ou mais pontos no plano tal que para todos os pontos P, Q e R em Σ temos que P, Q e R são colineares,
então todos os pontos em Σ são colineares.".
Exercícios Resolvidos 5: (a)
[vídeo]
[pdf]
(b)
[vídeo]
[pdf]
(no vídeo, a resolução do item 2 inicia em 05:59, do 3 em 08:35, do 4 em 12:21).
(Opcional) Para quem está gostando e quer se aprofundar:
- R. de Freitas e P. Viana, Métodos de Prova, Minicurso do II Colóquio de Matemática da Região Sul, Universidade Estadual de Londrina, 2012
(Capítulo 10 - páginas 80 a 83, Capítulo 12 - páginas 88 a 90).
- Vídeo do minicurso Comentários sobre Métodos de Prova, X Semana da Matemática do IME-UFF, 2021 (Método de Redução ao Absurdo):
[aula 2 - parte 2] [playlist - minicurso completo].
(Opcional) Para divertir e pensar:
- Falácia do "Nada contra, mas...", da Ação Coletiva Lógica Viva:
[vídeo].
6 - Conjunto das Partes e Antinomia de Russell.
Videoaula 6:
[youtube].
Leitura: Capítulo 6 - Conjunto das Partes e Antinomia de Russell, do nosso livro-texto
(R. de Freitas e P. Viana,
Introdução à Prática Matemática,
IME-UFF, Niterói, 2024).
Questionário 6 - responda após assistir à videoaula e estudar o material indicado para leitura.
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos.
-
(Opcional) Para conhecer um novo canal no Youtube:
- Série Isto É Matemática, da Sociedade Portuguesa de Matemática, Temporada 1, Episódio 6 - Um Novo Paradoxo:
[vídeo].
7 - Par ordenado. Produto cartesiano. Relações.
Videoaula 7:
[youtube].
Leitura: Capítulo 7 - Relações, do nosso livro-texto
(R. de Freitas e P. Viana,
Introdução à Prática Matemática,
IME-UFF, Niterói, 2024).
Questionário 7 - responda após assistir à videoaula e estudar o material indicado para leitura.
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos.
Exercícios Resolvidos 7:
[vídeo]
Diagramas para relações - como usar diagramas para representar relações e calcular a inversa de uma relação e a composição de duas relações:
[slides].
8 - Relação de equivalência. Partição.
Videoaula 8:
[youtube].
Leitura: Capítulo 8 - Relações de Equivalência, do nosso livro-texto
(R. de Freitas e P. Viana,
Introdução à Prática Matemática,
IME-UFF, Niterói, 2024).
Questionário 8 - responda após assistir à videoaula e estudar o material indicado para leitura.
Diagramas para relações - como usar diagramas para representar relações e analisar as propriedades de reflexividade, simetria, antissimetria e transitividade, e representar relações de equivalência (até Exemplo 9):
[vídeo]
[slides].
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos.
(Dica para 7b - página 97 do livro-texto:
[vídeo]
[pdf]).
-
9 - Estrutura quociente.
Videoaula 9:
[youtube].
Leitura: Capítulo 9 - Estrutura Quociente, do nosso livro-texto
(R. de Freitas e P. Viana,
Introdução à Prática Matemática,
IME-UFF, Niterói, 2024).
Questionário 9 - responda após assistir à videoaula e estudar o material indicado para leitura.
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos.
Congruência Módulo n - Aula do Prof Petrucio Viana, ministrada para o curso de Música da UFRJ:
[Parte 1]
[Parte 2]
[Parte 3]
(para ter acesso a esses vídeos, envie um email para renatafreitas@id.uff.br).
10 - Relações de ordem.
Videoaula 10:
[youtube].
Leitura: Capítulo 10 - Relações de Ordem, do nosso livro-texto
(R. de Freitas e P. Viana,
Introdução à Prática Matemática,
IME-UFF, Niterói, 2024).
Questionário 10 - responda após assistir à videoaula e estudar o material indicado para leitura.
Diagramas para relações - como usar Diagramas de Hasse para representar relações de ordem (ler do Exemplo 10 em diante).
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos.
(Opcional) Para quem está gostando e quer se aprofundar:
- Ivan Aguilar e Marina Sequeiros Dias, A Construção dos Números Reais e suas Extensões, 4o Colóquio de Matemática da Região Centro-Oeste, 2015.
11 - Funções.
Videoaula 11:
[youtube].
Leitura: Capítulo 11 - Funções, do nosso livro-texto
(R. de Freitas e P. Viana,
Introdução à Prática Matemática,
IME-UFF, Niterói, 2024).
Questionário 11 - responda após assistir à videoaula e estudar o material indicado para leitura.
Diagramas Sagitais - como usar diagramas para representar relações e analisar as propriedades de funcionalidade, totalidade, injetividade e sobrejetividade.
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos.
Exercício Resolvido 11:
(a)
[vídeo]
[pdf],
(b)
[vídeo]
[pdf].
12 - Cardinalidade.
Videoaula 12:
[youtube].
Leitura: Capítulo 12 - Hotel de Hilbert, do nosso livro-texto
(R. de Freitas e P. Viana,
Introdução à Prática Matemática,
IME-UFF, Niterói, 2024).
Questionário 12 - responda após assistir à videoaula e estudar o material indicado para leitura.
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos.
(Opcional) Para quem quiser ler mais sobre cardinalidade:
- Capítulo 13 - Teorema de Cantor, do nosso livro-texto
(R. de Freitas e P. Viana,
Introdução à Prática Matemática,
IME-UFF, Niterói, 2024).
- Alex Bellos, Alex no País dos Números - Uma Viagem ao Mundo Maravilhoso da Matemática, Companhia das Letras, São Paulo, 2011,
pp. 424-436 (sobre o Hotel de Hilbert).
- Paul Cohen, o matemático que criou 'novos mundos' ao resolver um problema - BBC News Brasil.
Referências
- Livro-texto - R. de Freitas e P. Viana, Introdução à Prática Matemática, IME-UFF, Niterói, 2024.
- A. Bellos, Alex no País dos Números, Cia das Letras, São Paulo, 2011, pp. 168-169.
- A. Hefez, Indução Matemática, Apostila 04 do Programa de Iniciação Científica da OBMEP 2006.
- R. de Freitas e P. Viana, Métodos de Prova,
Minicurso do II Colóquio de Matemática da Região Sul, Universidade Estadual de Londrina, 2012, disponível em http://www.uel.br/eventos/colmatsul/ (MC8, na aba Minicursos).
- J. Stewart, Cálculo, Vol. 1, 4a ed., Cengage Learning, São Paulo, 2017.
- M. Jorge, R.C. Teixeira, T. Couto Filho, F.F. Silva, Matemática para o Ensino Médio, Vol. 1, 1a ed., Editora do Brasil / FGV, São Paulo, 2009.
Texto sobre Conjuntos (Clayton W. Dodge, Sets, Logic and Numbers, PWS, Boston, 1969, pp. 45-61.) - versão adaptada (em português)
Vídeos e textos elaborados a partir de slides desenvolvidos para a disciplina Matemática Discreta em conjunto com o Prof. Petrucio Viana (GAN-IME-UFF).
A propósito dos modelos de prova apresentados no livro, vejam esse trecho de um
texto
que o Professor Edsger W. Dijkstra escreveu para sua turma (a versão em português é minha):
"(...) Just as a professor at a conservatory represents a musical style
(to the extent that it is often possible to identify the master by listening to his pupils),
I represent a mathematical style. It is up to you to decide later to what degree to adopt and to improve it.
One thing, however, you are not allowed to do, viz. to reject it offhand for the sole reason that it does not
reflect the way of doing mathematics you are used to. Of course it doesn't! That is precisely why you are here.
This whole course is no more and no less than an invitation to take the experiment of changing some of your
reasoning habits and adopting some new modes of expression. As you take the experiment you will notice that
it is not acquiring the new habits that presents the greatest problem, for that is getting rid of the old ones.
Perfecting oneself is as much unlearning as it is learning. (...)"
Assim como um professor em um conservatório representa um estilo musical
(a ponto de frequentemente ser possível identificar quem ensinou ao ouvir tocar o/a aprendiz),
eu represento um estilo de [fazer] matemática. Cabe a você decidir, mais tarde, o quanto vai adotar meu estilo e
aprimorá-lo. Uma coisa, no entanto, você não pode fazer, que é rejeitar meu estilo de antemão,
pela única razão de que ele não reflete a maneira como você está acostumado a fazer matemática.
É claro que não reflete! Esta é precisamente a razão pela qual você está aqui [na minha turma].
Este curso é nada mais nada menos que um convite para experimentar uma mudança de hábitos de raciocínio e
adotar algumas novas maneiras de se expressar. Conforme você for experimentando, você vai perceber que
não é a aquisição de novos hábitos que representa o maior problema, mas, sim, se livrar dos hábitos antigos.
Aperfeiçoar-se é muito mais desaprender do que aprender.
[PPA - Perguntas de períodos anteriores]
Errata
A Profa Marcia Groszek provou resultados *relacionados* com a equiconsistência dos sistemas de Zermelo e von Neuwman;
provas de que esses sistemas são equiconsistentes são anteriores, dos anos 50.
Aula 4: [vídeo].
Leitura: Capítulo 4 - Operações com Conjuntos, do nosso livro-texto (R. de Freitas e P. Viana, Introdução à Prática Matemática, IME-UFF, Niterói, 2024).
Questionário 4 - responda após assistir à videoaula e estudar o material indicado para leitura.
Diagramas Numerados - como usar diagramas para descobrir se uma igualdade ou inclusão entre conjuntos é verdadeira ou falsa e também para descobrir se uma inclusão ou igualdade é verdadeira, para todos os conjuntos que verificam condições expressas por igualdades ou inclusões, ou não.
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos.
5 - Prova por casos e Redução ao absurdo.
Videoaula 5: [youtube].
Leitura: Capítulo 5 - Prova por Casos e Redução ao Absurdo, do nosso livro-texto (R. de Freitas e P. Viana, Introdução à Prática Matemática, IME-UFF, Niterói, 2024).
Questionário 5 - responda após assistir à videoaula e estudar o material indicado para leitura.
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos.
Mais alguns exercícios: (1) Prove que todo natural é par ou ímpar. (2) Prove que a equação x^2+1=0 não tem solução real. (3) Prove que a soma de quais dois inteiros consecutivos não é divisível por 4. (4) Apresente duas provas do enunciado a seguir, uma usando o método de redução ao absurdo, outra usando o método de prova por indução: "Se Σ é um conjunto finito com 3 ou mais pontos no plano tal que para todos os pontos P, Q e R em Σ temos que P, Q e R são colineares, então todos os pontos em Σ são colineares.".
Exercícios Resolvidos 5: (a) [vídeo] [pdf] (b) [vídeo] [pdf] (no vídeo, a resolução do item 2 inicia em 05:59, do 3 em 08:35, do 4 em 12:21).
(Opcional) Para quem está gostando e quer se aprofundar:
- R. de Freitas e P. Viana, Métodos de Prova, Minicurso do II Colóquio de Matemática da Região Sul, Universidade Estadual de Londrina, 2012 (Capítulo 10 - páginas 80 a 83, Capítulo 12 - páginas 88 a 90).
- Vídeo do minicurso Comentários sobre Métodos de Prova, X Semana da Matemática do IME-UFF, 2021 (Método de Redução ao Absurdo): [aula 2 - parte 2] [playlist - minicurso completo].
(Opcional) Para divertir e pensar:
- Falácia do "Nada contra, mas...", da Ação Coletiva Lógica Viva: [vídeo].
6 - Conjunto das Partes e Antinomia de Russell.
Videoaula 6: [youtube].
Leitura: Capítulo 6 - Conjunto das Partes e Antinomia de Russell, do nosso livro-texto (R. de Freitas e P. Viana, Introdução à Prática Matemática, IME-UFF, Niterói, 2024).
Questionário 6 - responda após assistir à videoaula e estudar o material indicado para leitura.
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos.
(Opcional) Para conhecer um novo canal no Youtube:
- Série Isto É Matemática, da Sociedade Portuguesa de Matemática, Temporada 1, Episódio 6 - Um Novo Paradoxo: [vídeo].
7 - Par ordenado. Produto cartesiano. Relações.
Videoaula 7: [youtube].
Leitura: Capítulo 7 - Relações, do nosso livro-texto (R. de Freitas e P. Viana, Introdução à Prática Matemática, IME-UFF, Niterói, 2024).
Questionário 7 - responda após assistir à videoaula e estudar o material indicado para leitura.
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos.
Exercícios Resolvidos 7: [vídeo]
Diagramas para relações - como usar diagramas para representar relações e calcular a inversa de uma relação e a composição de duas relações: [slides].
8 - Relação de equivalência. Partição.
Videoaula 8: [youtube].
Leitura: Capítulo 8 - Relações de Equivalência, do nosso livro-texto (R. de Freitas e P. Viana, Introdução à Prática Matemática, IME-UFF, Niterói, 2024).
Questionário 8 - responda após assistir à videoaula e estudar o material indicado para leitura.
Diagramas para relações - como usar diagramas para representar relações e analisar as propriedades de reflexividade, simetria, antissimetria e transitividade, e representar relações de equivalência (até Exemplo 9): [vídeo] [slides].
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos. (Dica para 7b - página 97 do livro-texto: [vídeo] [pdf]).
9 - Estrutura quociente.
Videoaula 9: [youtube].
Leitura: Capítulo 9 - Estrutura Quociente, do nosso livro-texto (R. de Freitas e P. Viana, Introdução à Prática Matemática, IME-UFF, Niterói, 2024).
Questionário 9 - responda após assistir à videoaula e estudar o material indicado para leitura.
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos.
Congruência Módulo n - Aula do Prof Petrucio Viana, ministrada para o curso de Música da UFRJ: [Parte 1] [Parte 2] [Parte 3] (para ter acesso a esses vídeos, envie um email para renatafreitas@id.uff.br).
10 - Relações de ordem.
Videoaula 10: [youtube].
Leitura: Capítulo 10 - Relações de Ordem, do nosso livro-texto (R. de Freitas e P. Viana, Introdução à Prática Matemática, IME-UFF, Niterói, 2024).
Questionário 10 - responda após assistir à videoaula e estudar o material indicado para leitura.
Diagramas para relações - como usar Diagramas de Hasse para representar relações de ordem (ler do Exemplo 10 em diante).
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos.
(Opcional) Para quem está gostando e quer se aprofundar:
- Ivan Aguilar e Marina Sequeiros Dias, A Construção dos Números Reais e suas Extensões, 4o Colóquio de Matemática da Região Centro-Oeste, 2015.
11 - Funções.
Videoaula 11: [youtube].
Leitura: Capítulo 11 - Funções, do nosso livro-texto (R. de Freitas e P. Viana, Introdução à Prática Matemática, IME-UFF, Niterói, 2024).
Questionário 11 - responda após assistir à videoaula e estudar o material indicado para leitura.
Diagramas Sagitais - como usar diagramas para representar relações e analisar as propriedades de funcionalidade, totalidade, injetividade e sobrejetividade.
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos.
Exercício Resolvido 11: (a) [vídeo] [pdf], (b) [vídeo] [pdf].
12 - Cardinalidade.
Videoaula 12: [youtube].
Leitura: Capítulo 12 - Hotel de Hilbert, do nosso livro-texto (R. de Freitas e P. Viana, Introdução à Prática Matemática, IME-UFF, Niterói, 2024).
Questionário 12 - responda após assistir à videoaula e estudar o material indicado para leitura.
Exercícios: estude o material indicado para leitura e resolva os exercícios propostos.
(Opcional) Para quem quiser ler mais sobre cardinalidade:
- Capítulo 13 - Teorema de Cantor, do nosso livro-texto (R. de Freitas e P. Viana, Introdução à Prática Matemática, IME-UFF, Niterói, 2024).
- Alex Bellos, Alex no País dos Números - Uma Viagem ao Mundo Maravilhoso da Matemática, Companhia das Letras, São Paulo, 2011, pp. 424-436 (sobre o Hotel de Hilbert).
- Paul Cohen, o matemático que criou 'novos mundos' ao resolver um problema - BBC News Brasil.
Referências
- Livro-texto - R. de Freitas e P. Viana, Introdução à Prática Matemática, IME-UFF, Niterói, 2024.
- A. Bellos, Alex no País dos Números, Cia das Letras, São Paulo, 2011, pp. 168-169.
- A. Hefez, Indução Matemática, Apostila 04 do Programa de Iniciação Científica da OBMEP 2006.
- R. de Freitas e P. Viana, Métodos de Prova, Minicurso do II Colóquio de Matemática da Região Sul, Universidade Estadual de Londrina, 2012, disponível em http://www.uel.br/eventos/colmatsul/ (MC8, na aba Minicursos).
- J. Stewart, Cálculo, Vol. 1, 4a ed., Cengage Learning, São Paulo, 2017.
- M. Jorge, R.C. Teixeira, T. Couto Filho, F.F. Silva, Matemática para o Ensino Médio, Vol. 1, 1a ed., Editora do Brasil / FGV, São Paulo, 2009.
Texto sobre Conjuntos (Clayton W. Dodge, Sets, Logic and Numbers, PWS, Boston, 1969, pp. 45-61.) - versão adaptada (em português)
Vídeos e textos elaborados a partir de slides desenvolvidos para a disciplina Matemática Discreta em conjunto com o Prof. Petrucio Viana (GAN-IME-UFF).
A propósito dos modelos de prova apresentados no livro, vejam esse trecho de um texto que o Professor Edsger W. Dijkstra escreveu para sua turma (a versão em português é minha):
"(...) Just as a professor at a conservatory represents a musical style (to the extent that it is often possible to identify the master by listening to his pupils), I represent a mathematical style. It is up to you to decide later to what degree to adopt and to improve it. One thing, however, you are not allowed to do, viz. to reject it offhand for the sole reason that it does not reflect the way of doing mathematics you are used to. Of course it doesn't! That is precisely why you are here. This whole course is no more and no less than an invitation to take the experiment of changing some of your reasoning habits and adopting some new modes of expression. As you take the experiment you will notice that it is not acquiring the new habits that presents the greatest problem, for that is getting rid of the old ones. Perfecting oneself is as much unlearning as it is learning. (...)"
Assim como um professor em um conservatório representa um estilo musical (a ponto de frequentemente ser possível identificar quem ensinou ao ouvir tocar o/a aprendiz), eu represento um estilo de [fazer] matemática. Cabe a você decidir, mais tarde, o quanto vai adotar meu estilo e aprimorá-lo. Uma coisa, no entanto, você não pode fazer, que é rejeitar meu estilo de antemão, pela única razão de que ele não reflete a maneira como você está acostumado a fazer matemática. É claro que não reflete! Esta é precisamente a razão pela qual você está aqui [na minha turma]. Este curso é nada mais nada menos que um convite para experimentar uma mudança de hábitos de raciocínio e adotar algumas novas maneiras de se expressar. Conforme você for experimentando, você vai perceber que não é a aquisição de novos hábitos que representa o maior problema, mas, sim, se livrar dos hábitos antigos. Aperfeiçoar-se é muito mais desaprender do que aprender.
[PPA - Perguntas de períodos anteriores]
Errata
A Profa Marcia Groszek provou resultados *relacionados* com a equiconsistência dos sistemas de Zermelo e von Neuwman; provas de que esses sistemas são equiconsistentes são anteriores, dos anos 50.