Calendário
Verificações de Aprendizagem
V1 - 10 questões, valendo 1 ponto cada, aplicadas no final das aulas de terça,
nos dias 11/8, 18/8, 25/8, 8/9, 15/9, 22/9, 6/10, 13/10, 20/10, 3/11.
V2 - 29 de setembro (terça)
V3 - 17 de novembro (terça)
2a chamada - 26 de novembro (quinta)
VS - 3 de dezembro (quinta)
Exercícios
Lembre que "fazer" exercícios é igual a "tentar fazer" exercícios, discutir com outras pessoas, e formular perguntas; e não é "ver a resolução" do exercício (no quadro, no caderno de outra pessoa, no gabarito, etc).
4/8/2026 - Axiomatização dos Números Naturais
- Leia as seções 1.1 e 1.2 do Capítulo 1 da apostila
Fundamentos de Análise Matemática
e faça as atividades 1.1 até 1.5 (páginas 20 a 23).
6/8/2026 - Axiomatização dos Números Naturais
- Na figura temos grafos direcionados (digrafos) e, em seguida, conjuntos de afirmações.
Os pontos de cada digrafo representam os elementos de um conjunto N e as setas representam a lei de associação de uma relação s de N em N.
Para cada conjunto de afirmações, identifique os digrafos que verificam todas as afirmações do conjunto (como fizemos em sala).
(A) A relação s é uma função. A relação s não é injetiva. Todos os pontos recebem seta (isto é, a relação s é sobrejetiva). Um ponto recebe uma seta dele mesmo (isto é, um elemento de N é a imagem dele mesmo pela função s).
(B) A relação s é uma função. A relação s não é injetiva. A relação s não é sobrejetiva. Existe um único elemento a pertencente a N tal que s(a)=a. Existe um único elemento de N fora da imagem de s.
(C) A relação s é uma função. A relação s é sobrejetiva. Não existe um elemento de N que não seja imagem de algum elemento de N pela função s.
(D) A relação s é uma função. Existe um conjunto de pontos sem imagem relacionada. A relação s não é injetiva. A função é injetiva.
(E) Cada ponto está associado ao seguinte.
(F) A relação s é uma função. A relação s é injetiva. Existe um elemento de N que é a imagem de si mesmo pela função s.
(G) A relação s é uma função. A relação s não é injetiva. A relação s é sobrejetiva. Existe um único elemento de N fora da imagem de s. O grafo descreve uma função avaliada continuamente, isto é, tem início mas não tem fim.
(H) Qualquer ponto tem um único associado. Todo ponto está associado a outro. Um ponto não está associado a si mesmo. Dois pares de pontos relacionados só se relacionam uma única vez.
(I) A relação não é uma função. A relação s não é injetiva. Todos os pontos recebem seta (isto é, a relação s é sobrejetiva). Um ponto recebe uma seta dele mesmo (isto é, um elemento de N está associado a si mesmo pela relação s).
- Agora, para cada conjunto de afirmações, esboce um digrafo que verifique todas as afirmações do conjunto e que seja diferente de todos os digrafos apresentados na figura.
- (Opcional) Leia o texto: Ivan Niven, Números: Racionais e Irracionais, SBM/MAA, Rio de Janeiro, 1990 [Capítulo 1].
13/8/2026 - Axiomatização dos Números Naturais
- Justifique as suas respostas dos exercícios do dia 6/8/2026.
- Justifique também as suas respostas da
Questão 1 da V1.
- Resolva os exercícios da Lista 1.
- (Opcional) Para quem quiser mais sobre métodos de prova:
* Livro:
Renata de Freitas e Petrucio Viana,
Métodos de Prova,
Minicurso do II Colóquio de Matemática da Região Sul, Universidade Estadual de Londrina, 2012.
* Vídeos do minicurso Comentários sobre Métodos de Prova,
X Semana da Matemática do IME-UFF, 2021:
[aula 1 - parte 5]
(Método de Suposição),
[aula 2 - parte 1]
(Método de Generalização),
[aula 2 - parte 2]
(Método de Redução ao Absurdo),
[playlist - minicurso completo].
18/8/2026 - Infinitos infinitos
- Leia a última seção do seguinte texto sobre funções:
[pdf]
- Leia as seções 2.1 a 2.3 do Capítulo 2 da apostila
Fundamentos de Análise Matemática I.
20/8/2026 - Infinitos infinitos
- Leia o seguinte texto sobre o Hotel de Hilbert:
[pdf]
- Leia a Seção 2.4 do Capítulo 2 da apostila
Fundamentos de Análise Matemática I.
- Resolva os exercícios da Lista 3.
- (Opcional) Para quem quiser ler mais sobre cardinalidade:
* Capítulo 13 - Teorema de Cantor, do livro
Renata de Freitas e Petrucio Viana,
Introdução à Prática Matemática,
IME-UFF, Niterói, 2024.
* Alex Bellos, Alex no País dos Números - Uma Viagem ao Mundo Maravilhoso da Matemática, Companhia das Letras, São Paulo, 2011,
pp. 424-436 (sobre o Hotel de Hilbert).
* Paul Cohen, o matemático que criou 'novos mundos' ao resolver um problema - BBC News Brasil.
25/8/2026 - Infinitos infinitos
- Em sala mostramos que o conjunto dos números pares positivos e o conjunto dos números ímpares positivos têm a mesma cardinalidade.
Assista ao
[vídeo] e
responda as questões: (a) zero é par? (b) se zero é par, então existem "mais" pares do que ímpares? (justifique suas respostas).
- Escreva também as respostas (e justificativas) para as questões (a) e (b) que a @teoremadasabrina apresenta no vídeo.
(Opcional) - Racionais e irracionais
- Leia o texto: Ivan Niven, Números: Racionais e Irracionais, SBM/MAA, Rio de Janeiro, 1990
[Capítulo 2].
- Leia a
Seção 2.1
do livro-texto (Geraldo Ávila, Análise Matemática para Licenciatura, 3a edição, Editora Edgard Blucher, São Paulo, 2006).
- Leia as seções 3.1 a 3.5 da apostila
Fundamentos de Análise Matemática I.
- Assista o trecho 1:41:00 a 2:26:00 do seguinte vídeo do Prof Victor Giraldo:
[youtube]
(o trecho 50:20 a 58:30 desse outro vídeo tem um resuminho dessa discussão:
[youtube])
- Resolva os exercícios da Lista 4.
- Números irracionais na vida cotidiana - na prática, usamos racionais, mas com cuidado:
[wikipedia]
27/8/2026 - Sequências
- Leia a Seção 4.1 da apostila
Fundamentos de Análise Matemática I.
- Resolva os exercícios das atividades 4.2 a 4.6 da apostila
Fundamentos de Análise Matemática I.
- Resolva os exercícios da Lista 4.
Resultados
Referências
- Livro-texto: Geraldo Ávila, Análise Matemática para Licenciatura, 3a edição, Editora Edgard Blucher, São Paulo, 2006.
- Apostila: Anne Michelle Dysman, Miriam Abdón, e Viviana Ferrer, Fundamentos de Análise Matemática - Uma Abordagem para Formação Docente, Volume 1, Projeto Análise Ativa, GAN/IME/UFF, Niterói, 2022. [pdf]
- Djairo Guedes de Figueiredo, Análise I, 2a edição, LTC, Rio de Janeiro, 2011.
Observações
- Faremos três verificações de aprendizagem: (V1), (V2), e (V3). A (V1) será constituída de dez questões, aplicadas durante o período, uma de cada vez, no final das aulas de terça. A média (M) será a média aritmética entre (V1), (V2), e (V3): (M) = (V1)+(V2)+(V3) / 3.
- Em todas as verificações de aprendizagem você poderá consultar as anotações manuscritas em seu(s) caderno(s) ou folha(s) avulsa(s).
- A vista de prova acontecerá sempre na aula seguinte à aplicação de cada verificação de aprendizagem.
- A tolerância máxima de atraso em dias de verificação de aprendizagem é de 30 minutos. Por causa disso, não é permitido sair antes de decorridos 30 minutos do início da aula em dias de verificação de aprendizagem.
- Não é permitido sair e retornar à sala em dias de verificação de aprendizagem (salvo em situação de urgência).
- Não é permitido usar aparelhos eletrônicos (calculadora, celular, relógio, etc) durante a aplicação de uma verificação de aprendizagem.
- A 2a Chamada está aberta a todes e obrigatoriamente substitui uma das notas anteriores, (V1) ou (V2) ou (V3), mesmo que a nota da 2a Chamada seja menor que as outras. Após decorridos 30 minutos de prova, você poderá optar por não fazer a 2a Chamada (se optar por não fazer, não assinará a lista de presença).
- Está aprovade quem tiver média (M) maior ou igual a 6,0 e frequência igual ou superior a 75% (que corresponde a no máximo 7 faltas).
- A VS - Verificação Suplementar seguirá as regras usuais da UFF: quem tiver frequência igual ou superior a 75% e média entre 4,0 e 5,9 pode fazer a VS, e estará aprovade se tiver nota maior ou igual a 6,0 na VS.
- Só poderá fazer uma verificação de aprendizagem quem tiver frequência suficiente (número de faltas inferior a 25%, que corresponde a no máximo 7 faltas).
- Qualquer dúvida, me escreva: renatafreitas@id.uff.br.
A propósito da redação das demonstrações, vejam esse trecho de um texto que o Professor Edsger W. Dijkstra escreveu para sua turma (a versão em português é minha):
"(...) Just as a professor at a conservatory represents a musical style (to the extent that it is often possible to identify the master by listening to his pupils), I represent a mathematical style. It is up to you to decide later to what degree to adopt and to improve it. One thing, however, you are not allowed to do, viz. to reject it offhand for the sole reason that it does not reflect the way of doing mathematics you are used to. Of course it doesn't! That is precisely why you are here. This whole course is no more and no less than an invitation to take the experiment of changing some of your reasoning habits and adopting some new modes of expression. As you take the experiment you will notice that it is not acquiring the new habits that presents the greatest problem, for that is getting rid of the old ones. Perfecting oneself is as much unlearning as it is learning. (...)"
Assim como um professor em um conservatório representa um estilo musical (a ponto de frequentemente ser possível identificar quem ensinou ao ouvir tocar o/a aprendiz), eu represento um estilo de [fazer] matemática. Cabe a você decidir, mais tarde, o quanto vai adotar meu estilo e aprimorá-lo. Uma coisa, no entanto, você não pode fazer, que é rejeitar meu estilo de antemão, pela única razão de que ele não reflete a maneira como você está acostumado a fazer matemática. É claro que não reflete! Esta é precisamente a razão pela qual você está aqui [na minha turma]. Este curso é nada mais nada menos que um convite para experimentar uma mudança de hábitos de raciocínio e adotar algumas novas maneiras de se expressar. Conforme você for experimentando, você vai perceber que não é a aquisição de novos hábitos que representa o maior problema, mas, sim, se livrar dos hábitos antigos. Aperfeiçoar-se é muito mais desaprender do que aprender.